トポロジカルスペース（空間）たち間のオープン（開）サージェクティブ（全射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のベーシス（基底）のイメージ（像）はコドメイン（余域）のベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）によるコンポジション（合成）は引数セット（集合）の中に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のオープン（開）サージェクティブ（全射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのオープン（開）サージェクティブ（全射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{T_1 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{B_j \vert j \in J\}\)
\(B'\): \(= f (B) := \{f (B_j) \vert B_j \in B\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B' \in \{T_2 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(f (B_j)\)は\(T_2\)上でオープン（開）であることを見る; ステップ2: 各ポイント\(t \in T_2\)および\(t\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)に対して、以下を満たすある\(f (B_j)\)、つまり、\(t \in f (B_j) \subseteq U_t\)、があることを見る。
ステップ1:
各\(f (B_j)\)は\(T_2\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はオープン（開）である。
ステップ2:
任意のポイント\(t \in T_2\)および\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T_2\)に対して、以下を満たすある\(f (B_j) \in B'\)、つまり、\(t \in f (B_j) \subseteq U_t\)、はあるか？
\(f^{-1} (U_t)\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、そして空でない、なぜなら、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
以下を満たすあるポイント\(t' \in f^{-1} (U_t)\)、つまり、\(f (t') = t\)、がある、なぜなら、\(f\)はサージェクティブ（全射）である、そして、\(f^{-1} (U_t)\)は\(t'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
以下を満たすある\(B_j\)、つまり、\(t' \in B_j \subseteq f^{-1} (U_t)\)、がある、なぜなら、\(B\)はベーシス（基底）である。
\(t = f (t') \in f (B_j)\)および\(f (B_j) \subseteq f \circ f^{-1} (U_t) \subseteq U_t\)、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）によるコンポジション（合成）は引数セット（集合）の中に包含されているという命題によって。
したがって、イエス。
3: 注1
したがって、もしも、\(T_1\)がセカンドカウンタブル（可算）である場合、\(T_2\)セカンドカウンタブル（可算）である、もしも、\(f\)が本命題の要件たちを満たしている場合。
4: 注2
\(f\)に対する当該要求たちは本命題にとって必要である、なぜなら、もしも、\(f (B_j)\)がオープン（開）でなければ、\(B'\)はベーシス（基底）ではあり得ない; もしも、\(f\)はサージェクティブ（全射）でない場合、\(B'\)は\(f\)がマップしない領域をカバーできない; もしも、\(f\)はコンティニュアス（連続）でない場合、\(T_2\)のあるサブセット（部分集合）のオープン（開）性は\(T_1\)のトポロジーと関連付けられない、したがって、\(f (B_j)\)が当該サブセット（部分集合）内に包含されているようなある\(B_j\)があるという保証がない。
5: 注3
あるクウォシェント（商）マップ（写像）は必ずしもオープン（開）でないから、本命題は一般のクウォシェント（商）マップ（写像）たちには適用できない、したがって、あるセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）のあるクウォシェント（商）スペース（空間）は、本命題によってはセカンドカウンタブル（可算）であると保証されない、そして、実のところ、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちの非セカンドカウンタブル（可算）クウォシェント（商）スペース（空間）たちというのはある。
