トポロジカルスペース（空間）たち間のマップ（写像）はオープン（開）である、もしも、マップ（写像）はサージェクティブ（全射）でドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）はコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、しかし、その場合に限ってではない、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）はオープン（開）である、もしも、当該マップ（写像）はサージェクティブ（全射）で当該ドメイン（定義域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は当該コドメイン（余域）のあるオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、しかし、その場合に限ってではない、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(f \in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall U_1 \in \{T_1 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\exists U_2 \in \{T_2 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U_1 = f^{-1} (U_2)))\)
)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
逆は必ずしも成立しない。
2: 注
\(f\)はコンティニュアス（連続）である必要はない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はサージェクティブ（全射）であり\(U_1 = f^{-1} (U_2)\)であると仮定し、\(f\)はオープン（開）であることを見る; ステップ2: 逆は成立しないある例を見る。
ステップ1:
\(f\)はサージェクティブ（全射）であり任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_1 \subseteq T_1\)は\(U_1 = f^{-1} (U_2)\)である、あるオープンサブセット（開部分集合）\(U_2 \subseteq T_2\)に対して、と仮定しよう。
\(f (U_1) = f \circ f^{-1} (U_2)\)、しかし、\(f \circ f^{-1} (U_2) = U_2\)、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合という命題によって。したがって、\(f (U_1) = U_2\)、\(T_2\)上でオープン（開）。
ステップ2:
逆は成立しないある例を見よう。
\(T_1\)は\(\mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(T_2\)は\(\{0\}\)で不可避なトポロジーを持つもの、\(f\)はコンスタントマップ（写像）としよう。\(f\)はオープン（開）である。\(f\)はサージェクティブ（全射）である、しかし、オープンサブセット（開部分集合）\((0, 1)\)は\(T_2\)の何らのオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）でもない。
4: 注
サージェクティブ（全射）性は要求される。反例として、\(T_1\)は\((0, 1] \subseteq \mathbb{R}\)でユークリディアントポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの、\(T_2\)は\(\mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(f\)はアイデンティティマップ（恒等写像）としよう。任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_1 \subseteq T_1\)に対して、\(U_1 = U'_1 \cap (0, 1]\)、ここで、\(U'_1 \subseteq \mathbb{R}\)はオープン（開）、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、そして、\(U_1 = f^{-1} (U'_1)\)。しかし、\((1 / 2, 1] \subseteq T_1\)はオープン（開）であるところ、\(f ((1 / 2, 1]) = (1 / 2, 1]\)は\(T_2\)上でオープン（開）でない。その理由は、\(f\)はサージェクティブ（全射）でないことである。
