サブセット（部分集合）のコンティニュアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に等しい、もしも、マップ（写像）はオープン（開）である場合、特に、もしも、マップ（写像）はサージェクティブ（全射）でドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）はコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、の記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）はオープン（開）である、もしも、当該マップ（写像）はサージェクティブ（全射）で当該ドメイン（定義域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は当該コドメイン（余域）のあるオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、しかし、その場合に限ってではない、という命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に等しい、もしも、当該マップ（写像）はオープン（開）である場合、特に、もしも、当該マップ（写像）はサージェクティブ（全射）で当該ドメイン（定義域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は当該コドメイン（余域）のあるオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(f \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\overline{f^{-1} (S)} = f^{-1} (\overline{S})\)
)
\(\land\)
(
(
\(f \in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall U_1 \in \{T_1 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\exists U_2 \in \{T_2 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (U_1 = f^{-1} (U_2)))\)
)
\(\implies\)
\(\overline{f^{-1} (S)} = f^{-1} (\overline{S})\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\overline{f^{-1} (S)} \subseteq f^{-1} (\overline{S})\)であることを見る; ステップ2: \(f\)はオープン（開）であると仮定し、\(f^{-1} (\overline{S}) \subseteq \overline{f^{-1} (S)}\)であることを見る; ステップ3: \(f\)はサージェクティブ（全射）であり当該ドメイン（定義域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は当該コドメイン（余域）のあるオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）であると仮定し、\(f\)はオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(\overline{f^{-1} (S)} \subseteq f^{-1} (\overline{S})\)、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないという命題によって。
したがって、それは、\(f^{-1} (\overline{S}) \subseteq \overline{f^{-1} (S)}\)の問題である。
ステップ2:
\(f\)はオープン（開）であると仮定しよう。
任意の\(t \in f^{-1} (\overline{S})\)に対して、\(t \in \overline{f^{-1} (S)}\)であるか？
\(t\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T_1\)に対して、\(U_t \cap f^{-1} (S) \neq \emptyset\)であるか？
\(f (t) \in f (U_t)\)および\(f (U_t)\)は\(T_2\)上でオープン（開）であるから、\(f (U_t) \subseteq T_2\)は\(f (t)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(f (t) \in \overline{S}\)であるから、\(f (U_t) \cap S \neq \emptyset\)。あるポイント\(t' \in f (U_t) \cap S\)がある。以下を満たすあるポイント\(t'' \in U_t\)、つまり、\(t' = f (t'')\)、がある。\(f (t'') \in S\)、したがって、\(t'' \in f^{-1} (S)\)。したがって、\(t'' \in U_t \cap f^{-1} (S)\)、したがって、\(U_t \cap f^{-1} (S) \neq \emptyset\)。
したがって、\(t \in \overline{f^{-1} (S)}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ3:
\(f\)はサージェクティブ（全射）であり当該ドメイン（定義域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は当該コドメイン（余域）のあるオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）であると仮定しよう。
\(f\)はオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）はオープン（開）である、もしも、当該マップ（写像）はサージェクティブ（全射）で当該ドメイン（定義域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は当該コドメイン（余域）のあるオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、しかし、その場合に限ってではない、という命題によって。
したがって、当該結論は、ステップ2から帰結される。
