、その一方で、実数たち（Real Numbers）は虚数たち（Imaginary Numbers）と同程度にイマジナリー（想像上のもの）である
話題
About: 高校数学
この記事の目次
- 開始コンテキスト
- ターゲットコンテキスト
- オリエンテーション
- 本体
- 1: 虚数たち（Imaginary Numbers）はイマジナリー（想像上のもの）なのか？
- 2: 数学は発見するのか発明するのか？
- 3: それでは、"リアル"と"イマジナリー"は何を意味するのか？
- 4: 複素数たち（Complex Numbers）集合はリアリティーをいかにモデルするか
- 5: 虚数たち（Imaginary Numbers）をイマジナリー（想像上のもの）と考えることは、偏狭さの確かなサインである
- 6: なぜ、私たちは'フィールド（体）'のことを考えるのか
- 7: なぜ、もっと高次元数システムたちが無いのか
開始コンテキスト
- 読者は、本サイトの背景を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、複素数たち（complex numbers）システムはいかに現実をモデルしているかを知る。
オリエンテーション
真実たちの導管になることによってヒューマニティーの庇護者になることについての記事があります。
本体
1: 虚数たち（Imaginary Numbers）はイマジナリー（想像上のもの）なのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
任意の虚数は\(b i\)、ここで、\(b\)は任意の実数であり\(i\)は\(i^2 = - 1\)を満たす数字、である。
虚数たち（imaginary numbers）は"イマジナリー（想像上のもの）"であると信じている人々がいくらか（ほとんどかもしれない）いる。
Special-Student-7-Rebutter
名前が悪い ...
Special-Student-7-Hypothesizer
その異議は自然だ: "名前が、それらはイマジナリー（想像上のもの）だと示唆しているじゃないの ..."。
しかし、その名前は歴史的無知の名残だ。
実のところ、実態とかけ離れた名前たちというのは数学においてもそれほど珍しくない; "合同"はそれらの内の1つだ。
Special-Student-7-Rebutter
どんな"無知"だ？
Special-Student-7-Hypothesizer
多分、'虚数'のコンセプトは、3次方程式たちを解く試みの中で最初に生まれた。
Special-Student-7-Rebutter
"3次"？2次ではなくて？
Special-Student-7-Hypothesizer
多分そうだ: \(x^2 = - 1\)を解く試みが\(i\)を発生させたと思うかもしれないが、\(x^2 = - 1\)は単に"それは解を持たない"であった、それ以上発展することなく。
しかし、3次方程式たちに対するカルダノの方法が\(\omega := (- 1 + \sqrt{3} i) / 2\)、それは\(1\)のある立方根、を要求した: \(\omega\)が本当に\(1\)のある立方根であることは、\(\omega^3\)を展開して\(i^2 = - 1\)と取ることで見ることができる。
しかし、その当時における\(i\)は単なる方便であった: "そんなものはないのだが、それが存在していたふりをすれば、ジャジャーン、3次方程式たちを解くことができる。"。
Special-Student-7-Rebutter
"ジャジャーン"？
Special-Student-7-Hypothesizer
とにかく、それはイマジナリー（想像上のもの）と考えられた、"それは本当には存在しない。"という意味で。
Special-Student-7-Rebutter
正確には、それは、実数たち集合内には存在しない。
Special-Student-7-Hypothesizer
確かに、しかし、その当時の人々は実数たち集合を超える想像はできなかった、したがって、それが実数たち集合内に存在しない以上は、"それは全然存在しない"、彼らにとっては。
Special-Student-7-Rebutter
有理数たち集合を超える想像ができなかった人々にとって、"\(\sqrt{2}\)は全然存在しなかった"のと同様に。
Special-Student-7-Hypothesizer
\(i\)に何も問題はなかったのだが、人々の想像力に問題があった。
Special-Student-7-Rebutter
そもそも、"リアル"と"イマジナリー"は何を意味するのか？
2: 数学は発見するのか発明するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
それを考えるためには、"数学は発見するのか発明するのか？"という問いのことを考えるべきだろう。
Special-Student-7-Rebutter
ああ、それはよく聞く問いだ。
Special-Student-7-Hypothesizer
一部の人々が彼らのスタンスたちを表明したが、私はその問いについては確信している: 数学はリアリティーのモデルである。
Special-Student-7-Rebutter
それで、...、それは発見するのか発明するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
任意のモデルそのものは人造工作物である、しかし、数学は、恣意的にでっちあげたものではなく、リアリティーを適切に代表することを目標とするものである。
Special-Student-7-Rebutter
数学のある分野がそれを目標としないということはできないのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
できるかもしれないが、任意の分野は、有意な注目を得るのは、それがリアリティーを良く代表する時だけである、なぜなら、そうでなければ、その分野は何の適用も持たないだろう。
Special-Student-7-Rebutter
So, ..., does mathematics discover or invent? それで、...、数学は発見するのか発明するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
数学はリアリティーをモデルする、私はそう言っているわけ。
実のところ、私は、それを"発見"か"発明"かに分類することがそんなに意味深いとは思わない: それは、"発見"にある、リアリティーをモデルするためには、そして、"発明"にもある、それは人造工作物であるから。
3: それでは、"リアル"と"イマジナリー"は何を意味するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
もしも、"リアル"がリアリティー内の実体であることを意味するのかのであれば、数学内のいかなるコンセプトもリアルでない、なぜなら、コンセプトは人造モデル内の実体であって、リアリティー内のではない。
したがって、'実数たち（real numbers）'が'虚数たち（imaginary numbers）'よりもよりリアルであるということはないだろう。
Special-Student-7-Rebutter
実数たちはリアリティー内に存在するということではない。
Special-Student-7-Hypothesizer
しかし、実数たち集合はリアリティーを良くモデルする。
実のところ、実数たち集合は任意の直線を良くモデルする。
Special-Student-7-Rebutter
実数たち集合がモデルするのは、空間的直線たちだけではない。
Special-Student-7-Hypothesizer
確かに、例えば、物体たちの質量たちも実数たちによってモデルされる。
いずれにせよ、実数たち集合がリアルであるとみなされるのは、それがリアリティーを良くモデルするからである。
したがって、"リアル"は、リアリティーを良くモデルすることであると理解するのが適切である。
したがって、'虚数（imaginary number）'がリアルであるか否かは、それはリアリティーを良くモデルするか否かの問題である。
4: 複素数たち（Complex Numbers）集合はリアリティーをいかにモデルするか
Special-Student-7-Hypothesizer
'虚数（imaginary number）'が非リアルであるとみなされていた理由は、それをリアリティー内の何物も代表しないと人々が考えたからである。
実のところ、どんな線分がi長を持つのか？
Special-Student-7-Rebutter
しかし、コンセプトは、ある直線をモデル必要はなく、リアリティー内のあるエンティティをモデルすればよいのである。
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、私たちは、複素数たち集合（虚数たち集合はその一部である）のことを考えるべきである。
複素数たち集合は、任意の2-次元平面をモデルする。
任意の2-次元平面に対して、任意のポイントはある複素数\(x + y i\)によって代表され、任意の複素数は当該平面上のあるポイントを代表する; テクニカルに言うと、当該平面上のポイントたち集合は複素数たち集合にバイジェクティブ（全単射）に対応する。
すると、\(i\)は平面上の\(0 + 1 i\)ポイントを代表する。
\(x + y i\)を原点から\(x + y i\)へのベクトルとみなすと、\(x + y i = r (cos \theta + sin \theta) i\)、ここで、\(r\)は当該ベクトルの長さであり\(\theta\)は当該ベクトルのx-軸からの反時計回り角度である、よく知られているとおり。
\(e^{\theta i} := cos \theta + sin \theta i\)と定義しよう。
Special-Student-7-Rebutter
その定義が可能であるのは、\(e^{0 i} := cos 0 + sin 0 i = 1 = e^0\)であるからである。
Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、実数たちに対する指数関数と虚数たちに対する指数関数は完全に別の代物たちであって同じシンボルが偶然共有されているだけだと言い張ることは可能であるが、それは悪い行ないであろう、したがって、はい、私たちがその同一シンボルを使うのは、それら2個の指数関数たちがシームレスに接続されているから。
いずれにせよ、それは単に定義である、なぜなら、虚数引数たちの指数関数はまだ定義されていなかった、私たちに関する限り。
Special-Student-7-Rebutter
複素数たち集合のエッセンスは、当該集合は平面ポイントたち集合へ集合的にバイジェクティブ（全単射）に対応するというだけではない。
実のところ、\(i^2 = - 1\)は何を意味するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
\(i^2\)のことを考えることは、複素数たちのマルチプリケーション（積）のことを考えることを意味する。
実数たち集合が四則演算たちを許すように、複素数たち集合は以下の四則演算たちを許す、\((x + y i) + (x' + y' i) = (x + x') + (y + y') i\); \((x + y i) - (x' + y' i) = (x - x') + (y - y') i\); \((x + y i) (x' + y' i) = (x x' - y y') + (x y' + y x') i\); \((x + y i) / (x' + y' i) = ((x + y i) (x' - y' i)) / (x'^2 + y'^2) = ((x x' + y y') + (- x y' + y x') i) / (x'^2 + y'^2) = (x x' + y y') / (x'^2 + y'^2) + (- x y' + y x') / (x'^2 + y'^2) i\)、ここで、\(x' + y' i \neq 0\)。
Special-Student-7-Rebutter
1つの重要な事実は、それは、実数たち集合に対する四則演算たちの拡張であるということ。
Special-Student-7-Hypothesizer
そう、複素数集合に対する四則演算たちを、私たちは、それらが実数たち集合に対する四則演算たちと整合するように定義した、実数たち集合を複素数たち集合の部分集合として。
Special-Student-7-Rebutter
したがって、実数たち集合は、複素数たち集合内にシームレスに座ることになる。
Special-Student-7-Hypothesizer
そして、魅惑的事実は、\(e^{(\theta + \theta') i} = e^{\theta i} e^{\theta' i}\)が成立すること: \(e^{(\theta + \theta') i} := cos (\theta + \theta') + sin (\theta + \theta') i\)、その一方で、\(e^{\theta i} e^{\theta' i} = (cos \theta + sin \theta i) (cos \theta' + sin \theta' i) = (cos \theta cos \theta' - sin \theta sin \theta') + (cos \theta sin \theta' + sin \theta cos \theta') i = cos (\theta + \theta') + sin (\theta + \theta') i\)。
そして、複素数たちに対する指数関数は、シームレスに\(e^{x + y i} := e^x e^{y i}\)と定義できる、\(e^{(x + y i) + (x' + y' i)} = e^{x + y i} e^{x' + y' i}\)。
Special-Student-7-Rebutter
複素数たちに対する指数関数の定義は単なる定義なのだが、魅惑的事実は、当該関数は実数たちに対する指数関数とシームレスになり、期待されるプロパティを満たすということ。
Special-Student-7-Hypothesizer
各\(x + y i\)をベクトルとみなすと、任意の2個の複素数たちの和は対応する2個のベクトルたちの和である、明らかに。
任意の2個の複素数たちの積は、ベクトルで、その長さが2個のベクトルたちの長さたちの積でありその角度が2個のベクトルたちの角度たちの合計であるものである、それはなぜなら、\((x + y i) (x' + y' i) = r e^{\theta i} r' e^{\theta' i} = r r' e^{(\theta + \theta') i}\)。
Special-Student-7-Rebutter
したがって、複素数たち集合は、リアリティ内の平面を良くモデルする。
Special-Student-7-Hypothesizer
したがって、複素数たち集合は、実数たち集合よりより少なくリアルであることはない。
5: 虚数たち（Imaginary Numbers）をイマジナリー（想像上のもの）と考えることは、偏狭さの確かなサインである
Special-Student-7-Hypothesizer
したがって、\(i\)は平面上の\((0, 1)\)ポイントであり、\(i^2 = - 1\)は、リーズナブルに、乗法の結果と理解される: \(i^2 = i i\)は、長さ\(1 \times 1 = 1\)および角度\(\pi / 2 + \pi / 2 = \pi\)を持つ、それは\(- 1\)に他ならない。
したがって、\(i^2 = - 1\)はミステリーでも何でもない。
Special-Student-7-Rebutter
\(i\)がイマジナリー（想像上のもの）だと考える人は、1-次元生物であり、ある直線内に閉じ込められており、当該直線の外の世界の存在を見ることも想像することもできないのである。
Special-Student-7-Hypothesizer
"虚数（imaginary number）"という言葉は、虚数たちがいかにリアリティをモデルするかを人々が理解していなかった時代に作られたのであるが、多くの時間が過ぎ、多くの事たちが発展し、"虚数たち（Imaginary numbers）はイマジナリー（想像上のもの）などとあなたはもはや言うべきでない。
量子力学における波動関数は、複素数たちを値に持つからリアルでないという議論を聞いたが、それは無知の確かなサインである。
Special-Student-7-Rebutter
勿論、誰もが（特に、私たちは）多かれ少なかれ無知であり、もしも、あなたが謙虚に自分の無知を認め、自分の誤解たちを絶え間なく是正していけば、それでよいのである。
6: なぜ、私たちは'フィールド（体）'のことを考えるのか
Special-Student-7-Hypothesizer
複素数たち集合に当該四則演算たちを持たせたものは、フィールド（体）を構成する、実数たち集合に当該四則演算たちを持たせたものがフィールド（体）を構成するのと同様に。
有理数たち集合に当該四則演算たちを持たせたものも、フィールド（体）である、しかし、整数たち集合に加法、減法、乗法を持たせたものは、フィールド（体）ではなく、リング（環）である、その理由は、それは除法を持たないこと、それが意味するのは、\(1 / 2\)は整数たち集合に属さないということ。
Special-Student-7-Rebutter
ベクトルとは何であるか？内で言及されたとおり、スペース（空間）のことを考えることが重要である。
Special-Student-7-Hypothesizer
"除法は整数たち集合内に存在する、なぜなら、'1 / 2'とできるから"のようにあなたは考えるかもしれないが、それは整数たち集合上のものではない、結果は整数たち集合内にないから。
Special-Student-7-Rebutter
いずれにせよ、なぜ、私たちは'フィールド（体）'のような抽象的コンセプトを導入するべきなのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
1つの主要な理由は、それは経済的であるため。
実のところ、ある構造がフィールド（体）である限り、多くの結論たちがその構造に対して成立する、それが、有理数たちフィールド（体）であろうが、実数たちフィールド（体）であろうが、複素数たちフィールド（体）であろうが、他のいかなるフィールド（体）であろうが。
したがって、当該結論たちを、様々なフィールド（体）たちの各々に対して個別に叙述し証明するのは大変不経済である。
抽象的なコンセプトたちに全くの拒絶を見せる人々が一部にいるが、あなたは本当に、様々なフィールド（体）たちの各々に個別に対処したいだろうか？
もしも、あなたが様々なフィールド（体）たちを個別に学び始めたら、たぶん（あなたがあまりにも非インテリジェントでなければ）、あなたは本質的に同じことを何度も学んでいることを感じ始めるだろうし、たぶん（あなたがあまりにも非インテリジェントでなければ）、あなたはそれを賢くないと気づくだろう。
他方で、ひと度あなたが'フィールド（体）'のコンセプトを受け入れれば、あなたは単に'フィールド（体）'を勉強し、全てのフィールド（体）たちに対して同じ結論たちを用いることができる。
どちらがよいですか？
7: なぜ、もっと高次元数システムたちが無いのか
Special-Student-7-Rebutter
複素数たちシステム（フィールド（体））は結構だ、2-次元平面をモデルして、しかし、それでは、ある自然な疑問は、"3-次元スペース（空間）に対する数たちシステム、4-次元スペース（空間）に対する数たちシステム、等々はあるのか？"。
Special-Student-7-Hypothesizer
その疑問は、"複素数たちシステムが存在するところ、なぜ、\(x + y i + z j\)のような数たちシステムは無いのか？それともあるのか？"。
答えは、それは存在しません、フィールド（体）としては。
Special-Student-7-Rebutter
なぜ？
Special-Student-7-Hypothesizer
もしも、あなたがそれを単にベクトルたちスペース（空間）として定義するのであれば、それは勿論可能である: \(x + y i + z j\)に\((x, y, z)\)ポイントを代表させなさい。
しかし、その上に四則演算たちを定義してそれをフィールド（体）とすることはできない。
Special-Student-7-Rebutter
なぜ？
Special-Student-7-Hypothesizer
とにかく不可能だ: それは複素数たちフィールド（体）を拡張すると仮定して、\(i j = a + b i + c j\)、ここで、\(a, b, c\)たちは何らかの実数たち、とセットすると、\(i i j = i (a + b i + c j)\)、しかし、左辺は\(i^2 j = - j\)で右辺は\(a i + b i^2 + c i j = a i - b + c i j = a i - b + c (a + b i + c j) = a c - b + (a + b c) i + c^2 j\)である、それが意味するのは、\(a c - b = 0\)、\(a + b c = 0\)、\(c^2 = - 1\)、それは不可能である、なぜなら、\(c^2 = - 1\)は不可能である。
Special-Student-7-Rebutter
もしも、それが複素数たちフィールド（体）を拡張しなければ？
Special-Student-7-Hypothesizer
通常、それが有用なのはそれが複素数たちフィールド（体）を拡張するがゆえにだ、複素数たちフィールド（体）が有用なのは複素数たちフィールド（体）が実数たちフィールド（体）を拡張するがゆえにであるのと同様に。
Special-Student-7-Rebutter
とにかく、もしも、そうだったら？
Special-Student-7-Hypothesizer
いずれにせよ、不可能なはずだ、ここで証明は示さないが。
Special-Student-7-Rebutter
魅惑的だ!なぜ、1-次元スペース（空間）と2-次元スペース（空間）はそんなに特別にフィールド（体）構造たちを許すのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
多分、'フィールド（体）'というコンセプトがそんなに特別で1-次元スペース（空間）および2-次元スペース（空間）のみを選ぶんだろう。
Special-Student-7-Rebutter
当該構造が'フィールド（体）であるよう要求されなかったら？
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、4-次元スペース（空間）に対して'クォータニオン（4元数）'がある、それはフィールド（体）ではなく、実数たちフィールド（体）上方の結合的除法アルジェブラ（多元環）、ここで、"除法"は各非ゼロ要素は乗法的逆を持つことを意味する。
Special-Student-7-Rebutter
その"結合的除法アルジェブラ（多元環）"というやつは、'フィールド（体）'とどう違うのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
そいつは可換でない: \(i j = k\)であるが\(j i = - k\)、例えば。
Special-Student-7-Rebutter
しかし、3-次元の、実数たちフィールド（体）上方の結合的除法アルジェブラ（多元環）は無い？
Special-Student-7-Hypothesizer
そのとおり。
Special-Student-7-Rebutter
魅惑的だ!3-次元スペース（空間）はその構造にすっぽかされてしまった。
Special-Student-7-Hypothesizer
興味深いことに、ある\(m\)-次元ユークリディアンスペース（空間）とある\(n\)-次元ユークリディアンスペース（空間）は、ベクトルたちスペース（空間）構造という観点からはそんなに違うとは思われないのに、それらはフィールド（体）構造または結合的除法アルジェブラ（多元環）という観点からは大きく違い得る。
