\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ファイバーたちの\(k\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）でローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k'\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）のランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）および任意のオープン（開）ドメイン（定義域）上方のローカル\(C^\infty\)セクションたちの任意のセット（集合）でリニアにインディペンデント（線形独立）であるものに対して、当該ドメイン（定義域）の各ポイントの、より小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）でその上方にあるローカル\(C^\infty\)フレームでリストリクテッド（制限された）セクションたちセット（集合）を含むものがあるものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）でローカル-スライス条件を満たすものは、当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ファイバーたちの任意の\(k\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）で任意のローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E', M, \pi')\): \(\in \{\text{ ランク } k' \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(k\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(k \le k'\)を満たすもの
\(\{E_m \in \{\pi'^{-1} (m) \text{ の全ての } k \text{ -ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\} \vert m \in M\}\)
\(E\): \(= \cup_{m \in M} E_m \subseteq E'\)でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(\pi\): \(= \pi' \vert_{E}: E \to M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m \in M (\exists U_m \subseteq M \in \{m \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}, \exists s_1, ..., s_k \in \{\pi' \vert_{\pi'^{-1} (U_m)} \text{ の全ての } C^\infty \text{ セクションたち }\} (\forall m' \in U_m (\{s_1 (m'), ..., s_k (m')\} \in \{E_{m'} \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\})))\)
\(\implies\)
(
\(E\)でアダプティングアトラスを持つもの \(\in \{E' \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\land\)
\((E, M, \pi) \in \{(E', M, \pi') \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちサブバンドル（束）たち }\}\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m\)の周りの以下を満たすあるトリビアライジングチャート\((V_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(V_m \subseteq U_m\)、および\(V_m\)上方の\(E'\)上におけるあるローカル\(C^\infty\)フレーム\(\{s_1, ..., s_k, s_{k + 1}, ..., s_{k'}\}\)を取る; ステップ2: \(E'\)に対する対応するチャート\((\pi'^{-1} (V_m) \subseteq E', \widetilde{\phi_m})\)を取り、当該チャートは\(E\)に対するアダプテッドチャートであることを見、そこで、\(E\)にアダプティングアトラスを与えて\(E\)を\(E'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、にする; ステップ3: \((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）であることを見る; ステップ4: \((E, M, \pi)\)は\((E', M, \pi')\)の\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドル（束）であることを見る。
ステップ1:
\(m\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V'_m \subseteq M\)、つまり、\(V'_m \subseteq U_m\)、および\(V'_m\)上方の\(E'\)上のあるローカル\(C^\infty\)フレーム\(\{s_1, ..., s_k, s_{k + 1}, ..., s_{k'}\}\)がある、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）および任意のオープン（開）ドメイン（定義域）上方のローカル\(C^\infty\)セクションたちの任意のセット（集合）でリニアにインディペンデント（線形独立）であるものに対して、当該ドメイン（定義域）の各ポイントの、より小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）でその上方にあるローカル\(C^\infty\)フレームでリストリクテッド（制限された）セクションたちセット（集合）を含むものがあるものがあるという命題によって。
\(V'_m\)は\(E'\)に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって、トリビアライゼーション\(\Phi'_m: \pi'^{-1} (V'_m) \to V'_m \times \mathbb{R}^{k'}, v = s^j s_j \mapsto (\pi' (v), s^1, ..., s^k, s^{k + 1} ..., s^{k'})\)を持って。
\(m\)の周りの以下を満たすあるトリビアライジングチャート\((V_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(V_m \subseteq V'_m\)、がある、トリビアライゼーション\(\Phi_m \vert_{\pi'^{-1} (V_m)}: \pi'^{-1} (V_m) \to V_m \times \mathbb{R}^{k'}, v = s^j s_j \mapsto (\pi' (v), s^1, ..., s^k, s^{k + 1} ..., s^{k'})\)を持って、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題によって。
ステップ2:
当該トリビアライゼーションによってインデュースト（誘導された）チャート\((\pi'^{-1} (V_m) \subseteq E', \widetilde{\phi_m})\)、ここで、\(\widetilde{\phi_m}: \pi'^{-1} (V_m) \to \mathbb{R}^{d + k'} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k'}, v \mapsto (\pi_2 (\Phi_m (v)), \phi_m (\pi' (v)))\)、を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。
当該チャートは、\(E\)に対する任意の\(e \in E_m\)の周りのアダプテッドチャートであることを見よう。
それは、以下を満たすある\(J \subseteq \{1, ..., k' + d\}\)およびある\(u \in \pi'^{-1} (V_m)\)、つまり、\(\pi'^{-1} (V_m) \cap E = S_{J, u} (\pi'^{-1} (V_m))\)、があるという問題である。
\(J = \{1, ..., k, k' + 1, ..., k' + d\}\)および\(u = e\)としよう: \(u \in \pi'^{-1} (V_m)\)、なぜなら、\(e \in E_m \subseteq \pi'^{-1} (V_m)\)。
\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m) \cap E) = \{(v^1, ..., v^k, 0, ..., 0, \phi_m (m')) \vert v^1, ..., v^k \in \mathbb{R}, m' \in V_m\}\)。
\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m)) = \{(v^1, ..., v^k, v^{k + 1}, ..., v^{k'}, \phi_m (m')) \vert v^1, ..., v^{k'} \in \mathbb{R}, m' \in V_m\}\)。
\(\widetilde{\phi_m} (u) = (\widetilde{\phi_m} (u)^1, ..., \widetilde{\phi_m} (u)^k, 0, ..., 0, \phi_m (m))\)。
\(S_{J, \widetilde{\phi_m} (u)} (\mathbb{R}^{k' + d}) = \{(v^1, ..., v^k, 0, ..., 0, x^1, ..., x^d) \in \mathbb{R}^{k' + d} \vert v^1, ..., v^k \in \mathbb{R}, x^1, ..., x^d \in \mathbb{R}\}\)。
したがって、\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m)) \cap S_{J, \widetilde{\phi_m} (u)} (\mathbb{R}^{k' + d}) = \{(v^1, ..., v^k, 0, ..., 0, \phi_m (m')) \vert v^1, ..., v^k \in \mathbb{R}, m' \in V_m\}\)。
したがって、\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m) \cap E) = \widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m)) \cap S_{J, \widetilde{\phi_m} (u)} (\mathbb{R}^{k' + d})\)。
したがって、\(\pi'^{-1} (V_m) \cap E = S_{J, u} (\pi'^{-1} (V_m))\)。
したがって、\(E\)はローカル-スライス条件を満たす、したがって、\(E\)でサブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラス\(\{(\pi'^{-1} (V_m) \cap E = \pi^{-1} (V_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m} = \pi_J \circ \widetilde{\phi_m}' \vert_{\pi^{-1} (V_m)}) \vert m \in M\}\)を持つものは、\(E'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）でローカル-スライス条件を満たすものは、当該\(P^\vasgl\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、という命題によって。
ステップ3:
\((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）であることを見よう。
\(\pi\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、各\(e \in E\)に対して、\(m = \pi (e)\)と記して、あるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および対応するチャート\((\pi^{-1} (V_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m})\)があり、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は\(: (v^1, ..., v^k, \phi_m (m')) \mapsto \phi_m (m')\)、それは、\(C^\infty\)である。
各\(m \in M\)に対して、ステップ1で取られたチャート\((V_m \subseteq M, \phi_m)\)は\(m\)の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(: \pi^{-1} (V_m) \to V_m \times \mathbb{R}^k, v \mapsto (\pi (v), \pi_2 (\widetilde{\phi_m} (v)))\)は\(C^\infty\)トリビアライゼーションである: それは、\(C^\infty\)トリビアライゼーション\(\Phi_m: \pi'^{-1} (V_m) \to V_m \times \mathbb{R}^{k'}\)のリストリクション（制限）である。
ステップ4:
したがって、\(E\)は\(E'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、\((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）である、各\(m \in M\)に対して、\(\pi^{-1} (m) = E_m\)は\(\pi'^{-1} (m)\)の\(k\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）である、したがって、\((E, M, \pi)\)は\((E', M, \pi')\)の\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドル（束）である。
