2025年6月15日日曜日

1166: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、ファイバーたちの\(k\)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちサブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)でローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース(部分空間)トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って

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\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、ファイバーたちの\(k\)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちサブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)でローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース(部分空間)トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、ことの記述/証明

話題


About: \(C^\infty\)マニフォールド(多様体)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、ファイバーたちの任意の\(k\)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちサブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)で任意のローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース(部分空間)トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\((E', M, \pi')\): \(\in \{\text{ ランク } k' \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル(束)たち }\}\)
\(k\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(k \le k'\)を満たすもの
\(\{E_m \in \{\pi'^{-1} (m) \text{ の全ての } k \text{ -ディメンショナル(次元)ベクトルたちサブスペース(部分空間)たち }\} \vert m \in M\}\)
\(E\): \(= \cup_{m \in M} E_m \subseteq E'\)でサブスペース(部分空間)トポロジーを持つもの
\(\pi\): \(= \pi' \vert_{E}: E \to M\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(\forall m \in M (\exists U_m \subseteq M \in \{m \text{ の全てのオープンネイバーフッド(開近傍)たち }\}, \exists s_1, ..., s_k \in \{\pi' \vert_{\pi'^{-1} (U_m)} \text{ の全ての } C^\infty \text{ セクションたち }\} (\forall m' \in U_m (\{s_1 (m'), ..., s_k (m')\} \in \{E_{m'} \text{ に対する全てのベーシス(基底)たち }\})))\)
\(\implies\)
(
\(E\)でアダプティングアトラスを持つもの \(\in \{E' \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち }\}\)
\(\land\)
\((E, M, \pi) \in \{(E', M, \pi') \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちサブバンドル(束)たち }\}\)
)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \(m\)の周りの以下を満たすあるトリビアライジングチャート\((V_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(V_m \subseteq U_m\)、および\(V_m\)上方の\(E'\)上におけるあるローカル\(C^\infty\)フレーム\(\{s_1, ..., s_k, s_{k + 1}, ..., s_{k'}\}\)を取る; ステップ2: \(E'\)に対する対応するチャート\((\pi'^{-1} (V_m) \subseteq E', \widetilde{\phi_m})\)を取り、当該チャートは\(E\)に対するアダプテッドチャートであることを見、そこで、\(E\)にアダプティングアトラスを与えて\(E\)を\(E'\)のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、にする; ステップ3: \((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)であることを見る; ステップ4: \((E, M, \pi)\)は\((E', M, \pi')\)の\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドル(束)であることを見る。

ステップ1:

\(m\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(V'_m \subseteq M\)、つまり、\(V'_m \subseteq U_m\)、および\(V'_m\)上方の\(E'\)上のあるローカル\(C^\infty\)フレーム\(\{s_1, ..., s_k, s_{k + 1}, ..., s_{k'}\}\)がある、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)および任意のオープン(開)ドメイン(定義域)上方のローカル\(C^\infty\)セクションたちの任意のセット(集合)でリニアにインディペンデント(線形独立)であるものに対して、当該ドメイン(定義域)の各ポイントの、より小さいかもしれないオープンネイバーフッド(開近傍)でその上方にあるローカル\(C^\infty\)フレームでリストリクテッド(制限された)セクションたちセット(集合)を含むものがあるものがあるという命題によって。

\(V'_m\)は\(E'\)に対するトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって、トリビアライゼーション\(\Phi'_m: \pi'^{-1} (V'_m) \to V'_m \times \mathbb{R}^{k'}, v = s^j s_j \mapsto (\pi' (v), s^1, ..., s^k, s^{k + 1} ..., s^{k'})\)を持って。

\(m\)の周りの以下を満たすあるトリビアライジングチャート\((V_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(V_m \subseteq V'_m\)、がある、トリビアライゼーション\(\Phi_m \vert_{\pi'^{-1} (V_m)}: \pi'^{-1} (V_m) \to V_m \times \mathbb{R}^{k'}, v = s^j s_j \mapsto (\pi' (v), s^1, ..., s^k, s^{k + 1} ..., s^{k'})\)を持って、任意のベクトルたちバンドル(束)に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)は必ずしもチャートオープンサブセット(開部分集合)ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)があるという命題によって。

ステップ2:

当該トリビアライゼーションによってインデュースト(誘導された)チャート\((\pi'^{-1} (V_m) \subseteq E', \widetilde{\phi_m})\)、ここで、\(\widetilde{\phi_m}: \pi'^{-1} (V_m) \to \mathbb{R}^{d + k'} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k'}, v \mapsto (\pi_2 (\Phi_m (v)), \phi_m (\pi' (v)))\)、を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)のトリビアライゼーションはカノニカル(正典)チャートマップ(写像)をインデュース(誘導)するという命題によって。

当該チャートは、\(E\)に対する任意の\(e \in E_m\)の周りのアダプテッドチャートであることを見よう。

それは、以下を満たすある\(J \subseteq \{1, ..., k' + d\}\)およびある\(u \in \pi'^{-1} (V_m)\)、つまり、\(\pi'^{-1} (V_m) \cap E = S_{J, u} (\pi'^{-1} (V_m))\)、があるという問題である。

\(J = \{1, ..., k, k' + 1, ..., k' + d\}\)および\(u = e\)としよう: \(u \in \pi'^{-1} (V_m)\)、なぜなら、\(e \in E_m \subseteq \pi'^{-1} (V_m)\)。

\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m) \cap E) = \{(v^1, ..., v^k, 0, ..., 0, \phi_m (m')) \vert v^1, ..., v^k \in \mathbb{R}, m' \in V_m\}\)。

\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m)) = \{(v^1, ..., v^k, v^{k + 1}, ..., v^{k'}, \phi_m (m')) \vert v^1, ..., v^{k'} \in \mathbb{R}, m' \in V_m\}\)。

\(\widetilde{\phi_m} (u) = (\widetilde{\phi_m} (u)^1, ..., \widetilde{\phi_m} (u)^k, 0, ..., 0, \phi_m (m))\)。

\(S_{J, \widetilde{\phi_m} (u)} (\mathbb{R}^{k' + d}) = \{(v^1, ..., v^k, 0, ..., 0, x^1, ..., x^d) \in \mathbb{R}^{k' + d} \vert v^1, ..., v^k \in \mathbb{R}, x^1, ..., x^d \in \mathbb{R}\}\)。

したがって、\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m)) \cap S_{J, \widetilde{\phi_m} (u)} (\mathbb{R}^{k' + d}) = \{(v^1, ..., v^k, 0, ..., 0, \phi_m (m')) \vert v^1, ..., v^k \in \mathbb{R}, m' \in V_m\}\)。

したがって、\(\widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m) \cap E) = \widetilde{\phi_m} (\pi'^{-1} (V_m)) \cap S_{J, \widetilde{\phi_m} (u)} (\mathbb{R}^{k' + d})\)。

したがって、\(\pi'^{-1} (V_m) \cap E = S_{J, u} (\pi'^{-1} (V_m))\)。

したがって、\(E\)はローカル-スライス条件を満たす、したがって、\(E\)でサブスペース(部分空間)トポロジーおよびアダプティングアトラス\(\{(\pi'^{-1} (V_m) \cap E = \pi^{-1} (V_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m} = \pi_J \circ \widetilde{\phi_m}' \vert_{\pi^{-1} (V_m)}) \vert m \in M\}\)を持つものは、\(E'\)のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、の任意のサブセット(部分集合)でローカル-スライス条件を満たすものは、当該\(P^\vasgl\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、である、サブスペース(部分空間)トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、という命題によって。

ステップ3:

\((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)であることを見よう。

\(\pi\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、各\(e \in E\)に対して、\(m = \pi (e)\)と記して、あるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および対応するチャート\((\pi^{-1} (V_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m})\)があり、当該コンポーネントたちファンクション(関数)は\(: (v^1, ..., v^k, \phi_m (m')) \mapsto \phi_m (m')\)、それは、\(C^\infty\)である。

各\(m \in M\)に対して、ステップ1で取られたチャート\((V_m \subseteq M, \phi_m)\)は\(m\)の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンネイバーフッド(開近傍)である、なぜなら、\(: \pi^{-1} (V_m) \to V_m \times \mathbb{R}^k, v \mapsto (\pi (v), \pi_2 (\widetilde{\phi_m} (v)))\)は\(C^\infty\)トリビアライゼーションである: それは、\(C^\infty\)トリビアライゼーション\(\Phi_m: \pi'^{-1} (V_m) \to V_m \times \mathbb{R}^{k'}\)のリストリクション(制限)である。

ステップ4:

したがって、\(E\)は\(E'\)のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、である、\((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)である、各\(m \in M\)に対して、\(\pi^{-1} (m) = E_m\)は\(\pi'^{-1} (m)\)の\(k\)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちサブスペース(部分空間)である、したがって、\((E, M, \pi)\)は\((E', M, \pi')\)の\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドル(束)である。


参考資料


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