\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）の任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\((U \subseteq M, \phi)\): \(\in \{M \text{ の全てのチャートたち }\}\)で、以下を満たすもの、\(U \in \{\text{ 全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\Phi\): \(: \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^k\), \(\in \{\text{ 全てのトリビアライゼーションたち }\}\)
\(\pi_2\): \(: (U \times \mathbb{R}^k) \to \mathbb{R}^k\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
\(\widetilde{\phi}\): \(: \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}, v \mapsto (\pi_2 (\Phi (v)), \phi (\pi (v)))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((\pi^{-1} (U) \subseteq E, \widetilde{\phi}) \in \{E \text{ の全てのチャートたち }\}\)
//
2: 注1
\(M\)のバウンダリー（境界）が空である時は、\(\widetilde{\phi}\)は通常、\(v \mapsto (\phi (\pi (v)), \pi_2 (\Phi (v)))\)であるように選ばれる、なぜなら、\((\phi (\pi (v)), \pi_2 (\Phi (v))) \in \mathbb{R}^{d + k}\)である、いずれにせよ、しかし、\(M\)のバウンダリー（境界）が空でない時は、\((\phi (\pi (v)), \pi_2 (\Phi (v))) \notin \mathbb{H}^{d + k}\)である、一般的に言って、したがって、私たちは、\(\widetilde{\phi}\)を上記のように選んだ、それは、\(M\)のバウンダリー（境界）が空である時も問題ない。
3: 証明
全体戦略: 任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: \(\widetilde{\phi} (\pi^{-1} (U)) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)はオープン（開）であることを見る; ステップ2: \(\widetilde{\phi}\)はディフェオモーフィズムであることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\widetilde{\phi} (\pi^{-1} (U)) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)はオープン（開）であることを見る。
\(\widetilde{\phi} (\pi^{-1} (U)) = \mathbb{R}^k \times \phi (U)\)。
\(\mathbb{R}^{d + k} \cong \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^d\) または \(\mathbb{H}^{d + k} \cong \mathbb{R}^k \times \mathbb{H}^d\)、ここで、\(\cong\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを意味する、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題 or \(d\)ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）の任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって。
\(\mathbb{R}^k \times \phi (U) \subseteq \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{R}^k \times \mathbb{H}^d\)はオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義によって、なぜなら、\(\phi (U) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ or } \mathbb{H}^d\)はオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(\widetilde{\phi} (\pi^{-1} (U)) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)はオープン（開）である。
ステップ2:
\(\widetilde{\phi}\)はディフェオモーフィックである。
\(\widetilde{\phi} = \lambda \circ (\phi, id) \circ \Phi\)、ここで、\(\lambda: \mathbb{R}^{d + k} \to \mathbb{R}^{d + k}, (r^1, ..., r^d, r^{d + 1}, ..., r^{d + k}) \mapsto (r^{d + 1}, ..., r^{d + k}, r^1, ..., r^d)\)。
\(\Phi: \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^k\)はディフェオモーフィックである; \((\phi, id): U \times \mathbb{R}^k \to \phi (U) \times \mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^k \text{ または } \mathbb{H}^d \times \mathbb{R}^k\)は明らかにディフェオモーフィックである; そして、\(\lambda \vert_{\phi (U) \times \mathbb{R}^k}: \phi (U) \times \mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^k \text{ または } \mathbb{H}^d \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k \times \phi (U) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)は明らかにディフェオモーフィックである。
したがって、\(\widetilde{\phi}\)はディフェオモーフィックである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(\widetilde{\phi}\)はディフェオモーフィズムであるから、\((\pi^{-1} (U), \widetilde{\phi})\)は\(E\)のチャートである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
4: 注2
\(U\)はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でなければならない、単なるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではなく、なぜなら、そうでなければ、\(\phi\)は存在しないことになる。
任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題によって、当該チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）が任意のポイント\(p \in M\)上方のチャートを得るために使える。
