409: C∞ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）する

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）することの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注1
• 3: 証明
• 4: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、ランク$k$の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、$d$ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、$d$ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）の任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \{\text{ ランク }k\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$(U\subseteq M,\varphi )$: $\in \{M\text{ の全てのチャートたち }\}$で、以下を満たすもの、$U\in \{\text{ 全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$\mathrm{\Phi }$: $:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$, $\in \{\text{ 全てのトリビアライゼーションたち }\}$
${\pi }_2$: $:(U\times {\mathbb{R}}^k)\to {\mathbb{R}}^k$, $=\text{ 当該プロジェクション（射影） }$
$\tilde{\varphi }$: $:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^{d+k}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d+k},v\mapsto ({\pi }_2(\mathrm{\Phi }(v)),\varphi (\pi (v)))$
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ステートメント（言明）たち:
$({\pi }^{-1}(U)\subseteq E,\tilde{\varphi })\in \{E\text{ の全てのチャートたち }\}$
//

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2: 注1

$M$のバウンダリー（境界）が空である時は、$\tilde{\varphi }$は通常、$v\mapsto (\varphi (\pi (v)),{\pi }_2(\mathrm{\Phi }(v)))$であるように選ばれる、なぜなら、$(\varphi (\pi (v)),{\pi }_2(\mathrm{\Phi }(v)))\in {\mathbb{R}}^{d+k}$である、いずれにせよ、しかし、$M$のバウンダリー（境界）が空でない時は、$(\varphi (\pi (v)),{\pi }_2(\mathrm{\Phi }(v)))\notin {\mathbb{H}}^{d+k}$である、一般的に言って、したがって、私たちは、$\tilde{\varphi }$を上記のように選んだ、それは、$M$のバウンダリー（境界）が空である時も問題ない。

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3: 証明

全体戦略: 任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: $\tilde{\varphi }({\pi }^{-1}(U))\subseteq {\mathbb{R}}^{d+k}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d+k}$はオープン（開）であることを見る; ステップ2: $\tilde{\varphi }$はディフェオモーフィズムであることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$\tilde{\varphi }({\pi }^{-1}(U))\subseteq {\mathbb{R}}^{d+k}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d+k}$はオープン（開）であることを見る。

$\tilde{\varphi }({\pi }^{-1}(U))={\mathbb{R}}^k\times \varphi (U)$。

${\mathbb{R}}^{d+k}\cong {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{R}}^d$ または ${\mathbb{H}}^{d+k}\cong {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{H}}^d$、ここで、$\cong$はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを意味する、$d$ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題 or $d$ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）の任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって。

${\mathbb{R}}^k\times \varphi (U)\subseteq {\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{H}}^d$はオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義によって、なぜなら、$\varphi (U)\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ or }{\mathbb{H}}^d$はオープンサブセット（開部分集合）である。

したがって、$\tilde{\varphi }({\pi }^{-1}(U))\subseteq {\mathbb{R}}^{d+k}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d+k}$はオープン（開）である。

ステップ2:

$\tilde{\varphi }$はディフェオモーフィックである。

$\tilde{\varphi }=\lambda \circ (\varphi ,id)\circ \mathrm{\Phi }$、ここで、$\lambda :{\mathbb{R}}^{d+k}\to {\mathbb{R}}^{d+k},(r^1,...,r^d,r^{d+1},...,r^{d+k})\mapsto (r^{d+1},...,r^{d+k},r^1,...,r^d)$。

$\mathrm{\Phi }:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$はディフェオモーフィックである; $(\varphi ,id):U\times {\mathbb{R}}^k\to \varphi (U)\times {\mathbb{R}}^k\subseteq {\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^k\text{ または }{\mathbb{H}}^d\times {\mathbb{R}}^k$は明らかにディフェオモーフィックである; そして、$\lambda {|}_{\varphi (U)\times {\mathbb{R}}^k}:\varphi (U)\times {\mathbb{R}}^k\subseteq {\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^k\text{ または }{\mathbb{H}}^d\times {\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^k\times \varphi (U)\subseteq {\mathbb{R}}^{d+k}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d+k}$は明らかにディフェオモーフィックである。

したがって、$\tilde{\varphi }$はディフェオモーフィックである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

$\tilde{\varphi }$はディフェオモーフィズムであるから、$({\pi }^{-1}(U),\tilde{\varphi })$は$E$のチャートである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

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4: 注2

$U$はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でなければならない、単なるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではなく、なぜなら、そうでなければ、$\varphi$は存在しないことになる。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題によって、当該チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）が任意のポイント$p\in M$上方のチャートを得るために使える。

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参考資料

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