ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のベクトルたちバンドル（束）\(\pi: E \to M\)、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U\)、ここで、\((U, \phi)\)は当該チャート、に対して、当該トリビアライゼイション\(\phi': \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^{d'}\)は自然なチャートマップ（写像）\(\phi'' = (\phi, id) \circ \phi': \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^{d'} \to \phi (U) \times \mathbb{R}^{d'}\), \(v \mapsto (\phi (\pi (v)), \lambda (\phi' (v)))\)、ここで、\(id\)はアイデンティティマップ（恒等写像）で\(\lambda\)は is the projection from \((U \times \mathbb{R}^{d'})\)から\(\mathbb{R}^{d'}\)へのプロジェクション（射影）、をインデュース（誘導）する。
2: 証明
\((\phi, id): U \times \mathbb{R}^{d'} \to \phi (U) \times \mathbb{R}^{d'}\)は明らかにホメオモーフィック（位相同形写像）である。それは明らかにディフェオモーフィックである。
\(\phi'' = (\phi, id) \circ \phi'\)はディフェオモーフィックである、ディフェオモーフィズムたちのコンポジション（合成）として。
\(\phi (U) \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(\phi (U) \times \mathbb{R}^{d'} \subseteq \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^{d'} = \mathbb{R}^{d + d'}\)、\(\mathbb{R}^{d + d'}\)上でオープン（開）。\(\phi'': \pi^{-1} (U) \to \phi (U) \times \mathbb{R}^{d'}\)はディフェオモーフィズムである、\((\pi^{-1} (U), \phi'')\)は\(E\)上のチャートである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、当該マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンンショナル（次元の）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
3: 注
\(U\)はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でなければならない、単なるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではなく、なぜなら、そうでなければ、\(\phi\)は存在しないだろう。
任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題によって、当該チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）を任意のポイント\(p \in M\)上方のチャートを得るの使える。
