トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のイメージ（像）のクロージャー（閉包）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のイメージ（像）は当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq T_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (\overline{S_1}) \subseteq \overline{f (S_1)}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p \in \overline{S_1}\)を任意のものとし、\(p \in S_1\)または\(p \in \overline{S_1} \setminus S_1\)であることを見る; ステップ2: \(p \in S_1\)である時、\(f (p) \in f (S_1) \subseteq \overline{f (S_1)}\)であることを見る; ステップ3: \(p \in \overline{S_1} \setminus S_1\)である時、\(f (p) \in \overline{f (S_1)}\)であることを見る。
ステップ1:
\(p \in \overline{S_1}\)を任意のものとしよう。
\(p \in S_1\)または\(p \in \overline{S_1} \setminus S_1\)。
ステップ2:
\(p \in S_1\)であると仮定しよう。
\(f (p) \in f (S_1) \subseteq \overline{f (S_1)}\)。
ステップ3:
\(p \in \overline{S_1} \setminus S_1\)であると仮定しよう。
それが意味するのは、\(p\)は\(S_1\)のアキュームレーション（集積）ポイントであるということ、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f (p) \in f (S_1)\)（それは可能である、なぜなら、\(f\)はインジェクティブ（単射）であると仮定されていない）または\(f (p) \notin f (S_1)\)。
\(f (p) \in f (S_1)\)である時、\(f (p) \in f (S_1) \subseteq \overline{f (S_1)}\)。
これ以降は、\(f (p) \notin f (S_1)\)であると仮定しよう。
\(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）を\(U_{f (p)} \subseteq T_2\)としよう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるので、\(f^{-1} (U_{f (p)}) \subseteq T_1\)はオープン（開）であり\(p\)を包含している、したがって、\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(p\)は\(S_1\)のアキュームレーション（集積）ポイントであるから、あるポイント\(p' \in f^{-1} (U_{f (p)}) \cap S_1\)がある。
\(f (p') \in U_{f (p)} \cap f (S_1)\)、それが含意するのは、\(f (p)\)は\(f (S_1)\)のアキュームレーション（集積）ポイントであること。
したがって、\(f (p) \in \overline{f (S_1)}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(f (p) \in \overline{f (S_1)}\)、いずれにせよ。
3: 注
もしも、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である場合、\(f (\overline{S_1}) = \overline{f (S_1)}\)、なぜなら、\(f^{-1}\)はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であり\(f^{-1} (f (S_1)) = S_1\)、したがって、\(f^{-1} (\overline{f (S_1)}) \subseteq \overline{f^{-1} (f (S_1)) } = \overline{S_1}\)、したがって、\(f (f^{-1} (\overline{f (S_1)})) = \overline{f (S_1)} \subseteq f (\overline{S_1})\)。
