トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S}^T = \overline{S}^{T'} \cap T\)、ここで、\(\overline{S}^T\)は\(S\)の\(T\)上のクロージャー（閉包）であり、\(\overline{S}^{T'}\)は\(S\)の\(T'\)上のクロージャー（閉包）である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\overline{S}^{T'} = \cap_{j \in J} C'_j\)であることを見る、ここで、\(\{C'_j \vert j \in J\}\)は、\(T'\)の、\(S\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのセット（集合）である; ステップ2: \(\overline{S}^{T'} \cap T = \cap_{j \in J} C'_j \cap T\)は、\(T\)の、\(S\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であることを見る。
ステップ1:
\(\overline{S}^{T'}\)は、\(T'\)の、\(S\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）である。
したがって、\(\{C'_j \vert j \in J\}\)を、\(T'\)の、\(S\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのセット（集合）、ここで、\(J\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、として、\(\overline{S}^{T'} = \cap_{j \in J} C'_j\)。
ステップ2:
\(\overline{S}^{T'} \cap T = (\cap_{j \in J} C'_j) \cap T = \cap_{j \in J} (C'_j \cap T)\)。
\(C'_j \cap T\)は\(T\)のクローズドサブセット（閉部分集合）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、そして、\(S \subseteq C'_j \cap T\)、そして、\(T\)の、\(S\)を包含する任意のクローズドサブセット（閉部分集合）\(C\)はある\(j\)に対して\(C = C'_j \cap T\)として現れる、なぜなら、\(T'\)の以下を満たすあるクローズドサブセット（閉部分集合）\(C' \subseteq T'\)、つまり、\(C = C' \cap T\)、がある、しかし、\(S \subseteq C \subseteq C'\)、したがって、\(C'\)は、\(T'\)の、\(S\)を包含するクローズドサブセット（閉部分集合）である、したがって、\(C' = C'_j\)、ある\(j\)に対して。
したがって、\(\cap_{j \in J} (C'_j \cap T)\)は、\(T\)の、\(S\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）、それは、\(\overline{S}^{T}\)、である。
したがって、\(\overline{S}^{T} = \overline{S}^{T'} \cap T\)。
