トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、もしも、サブスペース（部分空間）がクローズド（閉）である場合、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）が当該ベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である場合、当該クロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）が当該ベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である場合、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{T' \text{ の全てのクローズドサブスペース（閉部分空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\overline{S}^T = \overline{S}^{T'}\)、ここで、\(\overline{S}^T\)は、\(S\)の、\(T\)上のクロージャー（閉包）であり、\(\overline{S}^{T'}\)は、\(S\)の、\(T'\)上のクロージャー（閉包）である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\overline{S}^T = \overline{S}^{T'} \cap T\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{S}^T = \overline{S}^{T'}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\overline{S}^T = \overline{S}^{T'} \cap T\)、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
\(\overline{S}^{T'} \cap T\)は\(T'\)上でクローズド（閉）である、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）として。
ステップ2:
\(\overline{S}^T = \overline{S}^{T'}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）が当該ベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である場合、当該クロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であるという命題によって。
