トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、もしも、そのサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）がベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である場合、当該クロージャー（閉包）はベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）が当該ベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である場合、当該クロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S}^{T} \in \{T' \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)、ここで、\(\overline{S}^{T}\)は、\(S\)の\(T\)上のクロージャー（閉包）を表わす
\(\implies\)
\(\overline{S}^{T} = \overline{S}^{T'}\)、ここで、\(\overline{S}^{T'}\)は、\(S\)の\(T'\)上のクロージャー（閉包）を表わす
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\overline{S}^{T'} \subseteq \overline{S}^{T}\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{S}^{T} \subseteq \overline{S}^{T'}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\overline{S}^{T'} \subseteq \overline{S}^{T}\)、なぜなら、\(\overline{S}^{T'}\)は、\(T'\)の、\(S\)を包含する最小クローズドサブセット（閉部分集合）である、その一方で、\(\overline{S}^{T}\)は、\(T'\)の、\(S\)を包含するクローズドサブセット（閉部分集合）である、当該仮定によって。
ステップ2:
\(S \subseteq \overline{S}^{T'} \cap T\)、それは、\(T\)上でクローズド（閉）である、したがって、\(\overline{S}^{T} \subseteq \overline{S}^{T'} \cap T\)、なぜなら、\(\overline{S}^{T}\)は、\(T\)の、\(S\)を包含する最小クローズドサブセット（閉部分集合）である、その一方で、\(\overline{S}^{T'} \cap T\)は\(T\)の、\(S\)を包含するクローズドサブセット（閉部分集合）である、したがって、\(\overline{S}^{T} \subseteq \overline{S}^{T'}\)。
ステップ3:
したがって、\(\overline{S}^{T} = \overline{S}^{T'}\)。
