コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times n \text{ コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たち } \}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times o \text{ コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((M_1 M_2)^* = {M_2}^* {M_1}^*\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((M_1 M_2)^*\)へ、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）は、当該構成要素たちのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちのプロダクト（積）であるという命題および任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を適用し、それは、\({M_2}^* {M_1}^*\)に等しいことを見る。
ステップ1:
\((M_1 M_2)^* = \overline{M_1 M_2}^t\)。
\(= (\overline{M_1} \text{ } \overline{M_2})^t\)、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）は、当該構成要素たちのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちのプロダクト（積）であるという命題によって。
\(= \overline{M_2}^t \overline{M_1}^t\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって。
\(= {M_2}^* {M_1}^*\)。
