2025年6月1日日曜日

1146: コンプレックス(複素)マトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のエルミートコンジュゲート(共役)は、構成要素たちのエルミートコンジュゲート(共役)たちの逆順によるプロダクト(積)である

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コンプレックス(複素)マトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のエルミートコンジュゲート(共役)は、構成要素たちのエルミートコンジュゲート(共役)たちの逆順によるプロダクト(積)であることの記述/証明

話題


About: マトリックス(行列)たちスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のコンプレックス(複素)マトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のエルミートコンジュゲート(共役)は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート(共役)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times n \text{ コンプレックス(複素)マトリックス(行列)たち } \}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times o \text{ コンプレックス(複素)マトリックス(行列)たち } \}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\((M_1 M_2)^* = {M_2}^* {M_1}^*\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \((M_1 M_2)^*\)へ、任意のコンプレックス(複素)マトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のコンプレックスコンジュゲート(複素共役)は、当該構成要素たちのコンプレックスコンジュゲート(複素共役)たちのプロダクト(積)であるという命題および任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のマトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のトランスポーズ(転置)は、当該構成要素たちのトランスポーズ(転置)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題を適用し、それは、\({M_2}^* {M_1}^*\)に等しいことを見る。

ステップ1:

\((M_1 M_2)^* = \overline{M_1 M_2}^t\)。

\(= (\overline{M_1} \text{ } \overline{M_2})^t\)、任意のコンプレックス(複素)マトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のコンプレックスコンジュゲート(複素共役)は、当該構成要素たちのコンプレックスコンジュゲート(複素共役)たちのプロダクト(積)であるという命題によって。

\(= \overline{M_2}^t \overline{M_1}^t\)、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のマトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のトランスポーズ(転置)は、当該構成要素たちのトランスポーズ(転置)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題によって。

\(= {M_2}^* {M_1}^*\)。


参考資料


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