2025年7月6日日曜日

1192: トポロジカルスペース(空間)に対して、コネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たちでポイントを共有しているものたちのユニオン(和集合)はコネクテッド(連結された)である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース(空間)に対して、コネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たちでポイントを共有しているものたちのユニオン(和集合)はコネクテッド(連結された)であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たちで任意のポイントを共有しているものたちのユニオン(和集合)はコネクテッド(連結された)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(t'\): \(\in T'\)
\(J\): \(\in \{\text{ アンカウンタブル(不可算)かもしれない全てのインデックスセット(集合)たち }\}\)
\(\{T_j \in \{T' \text{ の全てのコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たち }\}\vert j \in J\}\): で\(t' \in T_j\)を満たすもの
\(T\): \(= \cup_{j \in J} T_j\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(T \in \{T' \text{ の全てのコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たち }\}\)
//


2: 証明


全体戦略: それを背理法によって見る; ステップ1: \(T\)は、\(T = U_1 \cup U_2\)としてコネクテッド(連結された)でなかったと仮定する; ステップ2: \(t' \in U_1\)であると仮定し、\(T_j \subseteq U_1\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

\(T\)はコネクテッド(連結された)でなかったと仮定しよう。

以下を満たすなんらかの非空オープン(開)\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(T = U_1 \cup U_2\)および\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、があることになる。

ステップ2:

\(t' \in U_1\)であったと仮定しよう、一般性を失わうことなく。

各\(j \in J\)に対して、\(T_j \subseteq U_1\)であることを見よう。

\(T_j = T_j \cap (U_1 \cap U_2)\)。

\(= (T_j \cap U_1) \cup (T_j \cap U_2)\)、任意のセット(集合)に対して、アンカウンタブル(不可算)かもしれない数の任意のサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)と任意のサブセット(部分集合)のインターセクション(共通集合)は当該サブセット(部分集合)たちの各々と後者サブセット(部分集合)のインターセクション(共通集合)たちのユニオン(和集合)であるという命題によって。

\(T_j \cap U_1 \neq \emptyset\)、なぜなら、\(t'\)はそこにあった。

\(T_j \cap U_1\)は\(T_j\)上でオープン(開)だということになる、なぜなら、\(U_1\)は\(T\)上でオープン(開)であったから、\(T'\)のあるオープンサブセット(開部分集合)\(U'_1 \subseteq T'\)に対して\(U_1 = U'_1 \cap T\)、しかし、\(T_j \cap U_1 = T_j \cap U'_1 \cap T = (T_j \cap T) \cap U'_1 = T_j \cap U'_1\)。

同様に、\(T_j \cap U_2\)は\(T_j\)上でオープン(開)だということになる。

\((T_j \cap U_1) \cap (T_j \cap U_2) = \emptyset\)、なぜなら、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)。

したがって、\(T_j\)はコネクテッド(連結された)であったから、\(T_j \cap U_2 = \emptyset\)。

それが意味するのは、\(T_j \subseteq U_1\)、なぜなら、\(T_j \subseteq T = U_1 \cup U_2\)であるところ、\(T_j\)上の各ポイントは\(U_2\)上にないであろう、したがって、\(U_1\)上にあるであろう。

ステップ3:

したがって、\(T = \cup_{j \in J} T_j \subseteq U_1\)。

したがって、\(U_2 = \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(U_2\)上の任意のポイントは\(T\)上にないことになる、なぜなら、当該ポイントは\(U_1\)上にないことになる。

それは、当該仮定に反する矛盾である、したがって、当該仮定は誤っていた、そして、\(T\)はコネクテッド(連結された)である。


参考資料


<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>