トポロジカルスペース（空間）に対して、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちでポイントを共有しているものたちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちで任意のポイントを共有しているものたちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(t'\): \(\in T'\)
\(J\): \(\in \{\text{ アンカウンタブル（不可算）かもしれない全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{T' \text{ の全てのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たち }\}\vert j \in J\}\): で\(t' \in T_j\)を満たすもの
\(T\): \(= \cup_{j \in J} T_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{T' \text{ の全てのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: それを背理法によって見る; ステップ1: \(T\)は、\(T = U_1 \cup U_2\)としてコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する; ステップ2: \(t' \in U_1\)であると仮定し、\(T_j \subseteq U_1\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。
以下を満たすなんらかの非空オープン（開）\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(T = U_1 \cup U_2\)および\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、があることになる。
ステップ2:
\(t' \in U_1\)であったと仮定しよう、一般性を失わうことなく。
各\(j \in J\)に対して、\(T_j \subseteq U_1\)であることを見よう。
\(T_j = T_j \cap (U_1 \cap U_2)\)。
\(= (T_j \cap U_1) \cup (T_j \cap U_2)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(T_j \cap U_1 \neq \emptyset\)、なぜなら、\(t'\)はそこにあった。
\(T_j \cap U_1\)は\(T_j\)上でオープン（開）だということになる、なぜなら、\(U_1\)は\(T\)上でオープン（開）であったから、\(T'\)のあるオープンサブセット（開部分集合）\(U'_1 \subseteq T'\)に対して\(U_1 = U'_1 \cap T\)、しかし、\(T_j \cap U_1 = T_j \cap U'_1 \cap T = (T_j \cap T) \cap U'_1 = T_j \cap U'_1\)。
同様に、\(T_j \cap U_2\)は\(T_j\)上でオープン（開）だということになる。
\((T_j \cap U_1) \cap (T_j \cap U_2) = \emptyset\)、なぜなら、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)。
したがって、\(T_j\)はコネクテッド（連結された）であったから、\(T_j \cap U_2 = \emptyset\)。
それが意味するのは、\(T_j \subseteq U_1\)、なぜなら、\(T_j \subseteq T = U_1 \cup U_2\)であるところ、\(T_j\)上の各ポイントは\(U_2\)上にないであろう、したがって、\(U_1\)上にあるであろう。
ステップ3:
したがって、\(T = \cup_{j \in J} T_j \subseteq U_1\)。
したがって、\(U_2 = \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(U_2\)上の任意のポイントは\(T\)上にないことになる、なぜなら、当該ポイントは\(U_1\)上にないことになる。
それは、当該仮定に反する矛盾である、したがって、当該仮定は誤っていた、そして、\(T\)はコネクテッド（連結された）である。
