グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下で当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、当該サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）および任意のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で任意のトポロジーを持ち当該グループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(S\): \(= \{1 \text{ の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{1 \text{ における } G \text{ に対する全てのネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(N_1\)を\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）とし、\(N_1 \cap N_1^{-1}\)を取り、\(1 \in N_1 \cap N_1^{-1} \subseteq N_1\)および\(N_1 \cap N_1^{-1} \in S\)であることを見る。
ステップ1:
\(N_1\)を\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(N_1 \cap N_1^{-1}\)を取ろう。
\(1 \in N_1 \cap N_1^{-1}\)、なぜなら、\(1 \in N_1\)および\(1 \in N_1^{-1}\)。
\(N_1 \cap N_1^{-1} \subseteq N_1\)。
したがって、\(1 \in N_1 \cap N_1^{-1} \subseteq N_1\)。
\(f_2: G \to G\)を当該インバース（逆）マップ（写像）としよう、それは、ホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(N_1^{-1} = f_2 (N_1)\)、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下で当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、当該サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）であるという命題によって。
したがって、\(N_1^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(f_2\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるので、\(1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(N_1\)内に包含されているものは、\(1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(N_1^{-1} = f_2 (N_1)\)内に包含されているものへマップ（写像）される。
\(N_1 \cap N_1^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
\((N_1 \cap N_1^{-1})^{-1} = N_1^{-1} \cap {N_1^{-1}}^{-1}\)、任意のグループ（群）および任意のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= N_1^{-1} \cap N_1\)、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下で当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、当該サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）であるという命題によって、\(= N_1 \cap N_1^{-1}\)、したがって、\(N_1 \cap N_1^{-1}\)はシンメトリック（対称）である。
したがって、\(N_1 \cap N_1^{-1} \in S\)。
