コミュータティブ（可換）リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系の記述/証明
話題
About: マトリックス（正方行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、スクウェアマトリックス（正方行列）の\((j, l)\)-コファクター（余因子）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n R \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in \{1, ..., n\} (det M = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l})\)
\(\land\)
\(\forall l \in \{1, ..., n\} (det M = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l})\)
\(\land\)
\(\forall j, j' \in \{1, ..., n\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \neq j' (\sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j', l} = 0)\)
\(\land\)
\(\forall l, l' \in \{1, ..., n\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } l \neq l' (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l'} = 0)\)
//
結局のところ、\(det M \delta^j_{j'} = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j', l}\)および\(det M \delta^l_{l'} = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l'}\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(det M = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l}\)であることを見る; ステップ2: \(det M = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l}\)であることを見る; ステップ3: \(\sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j', l} = 0\)であることを見る; ステップ4: \(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l'} = 0\)であることを見る。
ステップ1:
各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(det M = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l}\)であることを見よう。
\(det M = \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma M^1_{\sigma_1} ... M^n_{\sigma_n}\)、定義によって。
各項は\(M^j_{\sigma_j}\)ファクター（因子）を持つので、それは、\(\sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l N^l\)、ここで、\(N^l \in R\)、として表わせる。
\(N^l = M_{j, l}\)であることを見る。
\(N^l = \sum_{\sigma \in \{\sigma \in S_n \vert \sigma^j = l\}} sgn \sigma M^1_{\sigma_1} ... \widehat{M^j_{\sigma_j}} ... M^n_{\sigma_n}\)、ここで、ハットは、当該ファクター（因子）が欠けていることを意味する。
Let \(\sigma_0 \in S_n\) be the permutation that \(\sigma_j = l\) and \((\sigma_1, ..., \widehat{\sigma_j}, ..., \sigma_n) = (1, ..., \widehat{l}, ..., n)\). \(\sigma_0 \in S_n\)を、\(\sigma_j = l\)および\((\sigma_1, ..., \widehat{\sigma_j}, ..., \sigma_n) = (1, ..., \widehat{l}, ..., n)\)であるパーミュテーション（並べ替え）としよう。
\(sgn \sigma_0 = (-1)^{j + l}\)、なぜなら、\(l \le j\)である時、それは、\((1, ..., l, ..., j, ..., n) \mapsto (1, ..., \widehat{l}, ..., j, l, j + 1, ..., n)\)、それが意味するのは、\(l\)を\(j\)-番目位置へ移すということ、\(l\)を\(l + 1\)とスイッチし、...、\(l\)を\(j\)とスイッチして、\(j - l\)個のスイッチたちを行なって、しかし、\((-1)^{j - l} = (-1)^{j - l} * 1 = (-1)^{j - l} * (-1)^{2 l} = (-1)^{j + l}\); \(j \lt l\)である時、それは、\((1, ..., j, ..., l, ..., n) \mapsto (1, ..., j - 1, l, j, ..., \widehat{l}, ..., n)\)、それが意味するのは、\(l\)を\(j\)-番目位置へ移すということ、\(l\)を\(l - 1\)とスイッチし、...、\(l\)を\(j\)とスイッチして、\(l - 1 - (j - 1) = l - j\)個のスイッチたちを行なって、しかし、\((-1)^{l - j} = (-1)^{l - j} * 1 = (-1)^{l - j} * (-1)^{2 j} = (-1)^{j + l}\)。
\(\sigma = \sigma' \circ \sigma_0\)、ここで、\(\sigma'\)は\((1, ..., \widehat{l}, ..., j, j + 1, ..., n)\)または\((1, ..., j - 1, j, ..., \widehat{l}, ..., n)\)の対応するパーミュテーション（並べ替え）である。
\(sgn \sigma = sgn \sigma' sgn \sigma_0 = (-1)^{j + l} sgn \sigma'\)。
\(\sigma\)が\(\{\sigma \in S_n \vert \sigma^j = l\}\)を巡回する時、\(\sigma'\)は\((1, ..., \widehat{l}, ..., j, j + 1, ..., n)\)または\((1, ..., j - 1, j, ..., \widehat{l}, ..., n)\)の全てのパーミュテーション（並べ替え）たち、それは、実用上\(S_{n - 1}\)である、を巡回する: "実用上"と言った理由は、\(n\)-シンメトリックグループ（対称群）の定義は、元となるセット（集合）は\(\{1, ..., n - 1\}\)であるよう要求すること、しかし、これは、単に要素たちの名前を変えただけである。
したがって、\(N^l = \sum_{\sigma' \in S_{n - 1}} (-1)^{j + l} sgn \sigma' M^1_{\sigma'_1} ... \widehat{M^j_{\sigma_j}} ... M^n_{\sigma'_n} = (-1)^{j + l} \sum_{\sigma' \in S_{n - 1}} sgn \sigma' M^1_{\sigma'_1} ... \widehat{M^j_{\sigma_j}} ... M^n_{\sigma'_n} = M_{j, l}\)、\((j, l)\)-コファクター（余因子）。
したがって、\(det M = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l}\)。
ステップ2:
各\(l \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(det M = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l}\)であることを見よう。
リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）に対する"注"によって、\(det M = \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma M^{\sigma_1}_1 ... M^{\sigma_n}_n\)。
予期されるとおり、ロジックは、ステップ1と平行的である。
各項は\(M^{\sigma_l}_l\)ファクター（因子）を持つので、それは、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l N_j\)、ここで、\(N_j \in R\)、として表わせる。
\(N_j = M_{j, l}\)であることを見る。
\(N_j = \sum_{\sigma \in \{\sigma \in S_n \vert \sigma^l = j\}} sgn \sigma M^{\sigma_1}_1 ... \widehat{M^{\sigma_l}_l} ... M^{\sigma_n}_n\)、ここで、ハットは、当該ファクター（因子）が欠けていることを意味する。
\(\sigma_0 \in S_n\)を、\(\sigma_l = j\)および\((\sigma_1, ..., \widehat{\sigma_l}, ..., \sigma_n) = (1, ..., \widehat{j}, ..., n)\)であるパーミュテーション（並べ替え）としよう。
\(sgn \sigma_0 = (-1)^{j + l}\)、前と同様。
\(\sigma = \sigma' \circ \sigma_0\)、ここで、\(\sigma'\)は、\((1, ..., \widehat{j}, ..., l, l + 1, ..., n)\)または\((1, ..., l - 1, l, ..., \widehat{j}, ..., n)\)の対応するパーミュテーション（並べ替え）である。.
\(sgn \sigma = sgn \sigma' sgn \sigma_0 = (-1)^{j + l} sgn \sigma'\)。
\(\sigma\)が\(\{\sigma \in S_n \vert \sigma^l = j\}\)を巡回する時、\(\sigma'\)は\((1, ..., \widehat{j}, ..., l, l + 1, ..., n)\)または\((1, ..., l - 1, l, ..., \widehat{j}, ..., n)\)のの全てのパーミュテーション（並べ替え）たち、それは、実用上\(S_{n - 1}\)である、を巡回する。
したがって、\(N_j = \sum_{\sigma' \in S_{n - 1}} (-1)^{j + l} sgn \sigma' M^{\sigma'_1}_1 ... \widehat{M^{\sigma_l}_l} ... M^{\sigma'_n}_n = (-1)^{j + l} \sum_{\sigma' \in S_{n - 1}} sgn \sigma' M^{\sigma'_1}_1 ... \widehat{M^{\sigma_l}_l} ... M^{\sigma'_n}_n = M_{j, l}\)、\((j, l)\)-コファクター（余因子）。
したがって、\(det M = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l}\)。
ステップ3:
\(j, j' \in \{1, ..., n\}\)を\(j \neq j'\)である任意のものとしよう。
\(M\)の\(j'\)-番目行を\(j\)-番目行で置換することによって作られるマトリックス（行列）\(M'\)のことを考えよう。
よく知られているように、\(det M' = 0\)、なぜなら、それは2つの重複行たちを持つ。
しかし、ステップ1によって、\(j'\)-番目行によって展開することによって、\(det M' = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M'^{j'}_l M'_{j', l} = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j', l}\)、なぜなら、\(M'_{j', l} = M_{j', l}\)および\(M'^{j'}_l = M^j_l\)。
したがって、\(\sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j', l} = 0\)。
ステップ4:
\(l, l' \in \{1, ..., n\}\)を\(l \neq l'\)である任意のものとしよう。
\(M\)の\(l'\)-番目列を\(l\)-番目列で置換することによって作られるマトリックス（行列）\(M'\)のことを考えよう。
よく知られているように、\(det M' = 0\)、なぜなら、それは2つの重複列たちを持つ。
しかし、ステップ2によって、\(l'\)-番目列によって展開することによって、\(det M' = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} M'^j_{l'} M_{j, l'} = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l'}\)、なぜなら、\(M'_{j, l'} = M_{j, l'}\)および\(M'^j_{l'} = M^j_l\)。
したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} M^j_l M_{j, l'} = 0\)。
