モジュール（加群）たち間のインジェクティブ（単射）リニアマップ（線形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニアにインディペンデント（線形独立）なサブセット（部分集合）のイメージ（像）はリニアにインディペンデント（線形独立）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のインジェクティブ（単射）リニアマップ（線形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）のリニアにインディペンデント（線形独立）な任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq M_1\), \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_1 \in \{M_1 \text{ のリニアにインディペンデント（線形独立）な全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\implies\)
\(f (S_1) \in \{M_2 \text{ のリニアにインディペンデント（線形独立）な全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (S_1)\)の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(\{f (m_1), ..., f (m_n)\}\)を取り、\(c^1 f (m_1) + ... + c^n f (m_n) = 0\)だと仮定し、\(f (c^1 m_1 + ... + c^n m_n) = 0\)および\(c^1 m_1 + ... + c^n m_n = 0\)であることを見て、本命題を結論する。
ステップ1:
\(f (S_1)\)の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(\{f (m_1), ..., f (m_n)\}\)を取ろう。
\(c^1 f (m_1) + ... + c^n f (m_n) = 0\)であると仮定しよう。
\(c^1 f (m_1) + ... + c^n f (m_n) = f (c^1 m_1 + ... + c^n m_n)\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である。
したがって、\(f (c^1 m_1 + ... + c^n m_n) = 0\)。
\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(c^1 m_1 + ... + c^n m_n = 0\)。
\(S_1\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であり\(\{m_1, ..., m_n\}\)は\(S_1\)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であるから、\(c^1 = ... = c^n = 0\)。
それが意味するのは、\(f (S_1)\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であること。
