ファイナイト（有限）-プロダクト（積）ヒルベルトスペース（空間）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト（積）ヒルベルトスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C} \}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( \{V_1, ..., V_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）たち\(\{\langle \bullet, \bullet \rangle_1, ..., \langle \bullet, \bullet \rangle_n\}\)を持つものたち
\(*V_1 \times ... \times V_n\): \(= \text{ 当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）でプロダクト（積）インナープロダクト（内積）を持つもの }\)で、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの、\(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(V_1 \times ... \times V_n\)は本当にコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）であること、したがって、本当にヒルベルトスペース（空間）であることを見よう。
\(s: \mathbb{N} \to V_1 \times ... \times V_n\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
\(0 \lt \epsilon\)を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt m, o\)を満たす各\(m, o \in \mathbb{N}\)に対して、\(\langle s (o) - s (m), s (o) - s (m) \rangle \lt \epsilon^2\)、がある。
\(\langle s (o) - s (m), s (o) - s (m) \rangle = \langle (s (o)^1, ..., s (o)^n) - (s (m)^1, ..., s (m)^n), (s (o)^1, ..., s (o)^n) - (s (m)^1, ..., s (m)^n) \rangle = \langle (s (o)^1 - s (m)^1, ..., s (o)^n - s (m)^n), (s (o)^1 - s (m)^1, ..., s (o)^n - s (m)^n) \rangle = \langle s (o)^1 - s (m)^1, s (o)^1 - s (m)^1 \rangle_1 + ... + \langle s (o)^n - s (m)^n, s (o)^n - s (m)^n \rangle_n \lt \epsilon^2\)、それが意味するのは、各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(\langle s (o)^j - s (m)^j, s (o)^j - s (m)^j \rangle_j \lt \epsilon^2\)。
それが意味するのは、\(s^j: \mathbb{N} \to V_j\)はコーシーシーケンス（列）であること。
\(V_j\)はコンプリート（完備）であるから、\(s^j\)はある\(v^j \in V_j\)へコンバージ（収束）する。
\(v := (v^1, ..., v^n) \in V_1 \times ... \times V_n\)としよう。
\(s\)は\(v\)へコンバージ（収束）する、なぜなら、各\(\epsilon\)に対して、以下を満たすある\(N\)、つまり、\(N \lt m\)である各\(m\)および各\(j\)に対して、\(\langle v^j - s (m)^j \rangle \lt \epsilon^2 / n\)、を取ることができる、すると、\(\langle v - s (m), v - s (m) \rangle = \langle (v^1, ..., v^n) - (s (m)^1, ..., s (m)^n), (v^1, ..., v^n) - (s (m)^1, ..., s (m)^n) \rangle = \langle v^1 - s (m)^1, v^1 - s (m)^1 \rangle_1 + ... \langle v^n - s (m)^n, v^n - s (m)^n \rangle_n \lt \epsilon^2 / n + ... + \epsilon^2 / n = \epsilon^2\)。
