ファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C} \}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( \{V_1, ..., V_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）たち\(\{\langle \bullet, \bullet \rangle_1, ..., \langle \bullet, \bullet \rangle_n\}\)を持つものたち
\( V_1 \times ... \times V_n\): \(= \text{ 当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(*\langle \bullet, \bullet \rangle\): \(: (V_1 \times ... \times V_n) \times (V_1 \times ... \times V_n) \to F\), \(\in \{V_1 \times ... \times V_n \text{ に対する全てのインナープロダクト（内積）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall (v_1, ..., v_n), (v'_1, ..., v'_n) \in V_1 \times ... \times V_n (\langle (v_1, ..., v_n), (v'_1, ..., v'_n) \rangle = \langle v_1, v'_1 \rangle_1 + ... + \langle v_n, v'_n \rangle_n)\)
//
2: 注
\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)は本当にインナープロダクト（内積）であることを見よう。
\(v_1 = (v_{1, 1}, ..., v_{1, n}), v_2 = (v_{2, 1}, ..., v_{2, n}), v_3 = (v_{3, 1}, ..., v_{3, n}) \in V_1 \times ... \times V_n\)を任意のものとしよう; \(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう。
1) \((0 \le \langle v_1, v_1 \rangle)\) \(\land\) \((0 = \langle v_1, v_1 \rangle \iff v_1 = 0)\): \(0 \le \langle v_{1, 1}, v_{1, 1} \rangle_1 + ... + \langle v_{1, n}, v_{1, n} \rangle_n = \langle (v_{1, 1}, ..., v_{1, n}), (v_{1, 1}, ..., v_{1, n}) \rangle = \langle v_1, v_1 \rangle\); \(0 = \langle v_1, v_1 \rangle\)である時、各\(\langle v_{1, j}, v_{1, j} \rangle_j = 0\)、したがって、各\(v_{1, j} = 0\)、したがって、\(v_1 = (v_{1, 1}, ..., v_{1, n}) = 0\); \(v_1 = (v_{1, 1}, ..., v_{1, n}) = 0\)である時、各\(v_{1, j} = 0\)、したがって、各\(\langle v_{1, j}, v_{1, j} \rangle_j = 0\)、したがって、\(0 = \langle v_1, v_1 \rangle\)。
2) \(\langle v_1, v_2 \rangle = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)、ここで、その上線はコンプレックスコンジュゲート（複素共役）を表わす: \(\langle v_1, v_2 \rangle = \langle v_{1, 1}, v_{2, 1} \rangle_1 + ... + \langle v_{1, n}, v_{2, n} \rangle_n = \overline{\langle v_{2, 1}, v_{1, 1} \rangle_1} + ... + \overline{\langle v_{2, n}, v_{1, n} \rangle_n} = \overline{\langle v_{2, 1}, v_{1, 1} \rangle_1 + ... + \langle v_{2, n}, v_{1, n} \rangle_n} = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)。
3) \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\): \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = \langle r_1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, n}) + r_2 (v_{2, 1}, ..., v_{2, n}), (v_{3, 1}, ..., v_{3, n}) \rangle = \langle (r_1 v_{1, 1} + r_2 v_{2, 1}, ..., r_1 v_{1, n} + r_2 v_{2, n}), (v_{3, 1}, ..., v_{3, n}) \rangle = \langle r_1 v_{1, 1} + r_2 v_{2, 1}, v_{3, 1} \rangle_1 + ... + \langle r_1 v_{1, n} + r_2 v_{2, n}, v_{3, n} \rangle_n = r_1 \langle v_{1, 1}, v_{3, 1} \rangle_1 + r_2 \langle v_{2, 1}, v_{3, 1} \rangle_1 + ... + r_1 \langle v_{1, n}, v_{3, n} \rangle_n + r_2 \langle v_{2, n}, v_{3, n} \rangle_n = r_1 (\langle v_{1, 1}, v_{3, 1} \rangle_1 + ... + \langle v_{1, n}, v_{3, n} \rangle_n) + r_2 (\langle v_{2, 1}, v_{3, 1} \rangle_1 + ... + \langle v_{2, n}, v_{3, n} \rangle_n) = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\)。
当該プロダクト（積）はファイナイト（有限）である必要がある、なぜなら、そうでなければ、当該インナープロダクト（内積）は\(F\)の中へのものではないかもしれない。
