ファイナイト（有限）-プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）でファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）を持つものに対して、プロダクト（積）インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、インナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）で任意のファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）を持つものに対して、当該プロダクト（積）インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、当該インナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C} \}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(\{V_1, ..., V_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）たち\(\{\langle \bullet, \bullet \rangle_1, ..., \langle \bullet, \bullet \rangle_n\}\)を持つものたち
\(V_1 \times ... \times V_n\): \(= \text{ 当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間） }\)で、当該プロダクト（積）インナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(O\): \(= \langle \bullet, \bullet \rangle \text{ によってインデュースト（誘導された） } V_1 \times ... \times V_n \text{ に対するトポロジー }\)
\(O'\): \(= \langle \bullet, \bullet \rangle_j \text{ たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーとしての } V_1 \times ... \times V_n \text{ に対するトポロジー }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O = O'\)
//
2: 証明
全体戦略: オープン（開）であることのローカル基準を適用する; ステップ1: 任意の\(U \in O\)を取り、各\(u \in U\)に対して、\(u\)の\(O'\)内のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(U\)内に包含されているものがあることを見る; ステップ2: 任意の\(U \in O'\)を取り、各\(u \in U\)に対して、\(u\)の\(O\)内のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(U\)内に包含されているものがあることを見る。
ステップ1:
\(U \in O\)を任意のものとしよう。
\(u = (u^1, ..., u^n) \in U\)を任意のものとしよう。
\(u\)の周りの\(O\)内の以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{u, \epsilon} \in O\)、つまり、\(B_{u, \epsilon} \subseteq U\)、がある。
\(\delta := \epsilon / \sqrt{n}\)を取ろう。
\(u\)の周りの\(O'\)内の、オープンボール（開球）たちのプロダクト（積）\(B_{u^1, \delta} \times ... \times B_{u^n, \delta} \in O'\)を取ろう。
\(B_{u^1, \delta} \times ... \times B_{u^n, \delta} \subseteq B_{u, \epsilon}\)であることを見よう。
\(b = (b^1, ..., b^n) \in B_{u^1, \delta} \times ... \times B_{u^n, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(\langle b^j - u^j, b^j - u^j \rangle_j \lt \delta^2\)。
\(\langle b - u, b - u \rangle = \langle (b^1, ..., b^n) - (u^1, ..., u^n), (b^1, ..., b^n) - (u^1, ..., u^n) \rangle = \langle (b^1 - u^1, ..., b^n - u^n), (b^1 - u^1, ..., b^n - u^n) \rangle = \langle b^1 - u^1, b^1 - u^1 \rangle_1 + ... + \langle b^n - u^n, b^n - u^n \rangle_n \lt \delta^2 + ... + \delta^2 = n \delta^2 = \epsilon^2\)。
それが意味するのは、\(b \in B_{u, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{u^1, \delta} \times ... \times B_{u^n, \delta} \subseteq B_{u, \epsilon} \subseteq U\)。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U \in O'\)。
ステップ2:
\(U \in O'\)を任意のものとしよう。
\(u = (u^1, ..., u^n) \in U\)を任意のものとしよう。
\(u\)の周りの\(O'\)内の以下を満たす何らかのオープンボール（開球）たちのプロダクト（積）\(B_{u^1, \epsilon} \times ... \times B_{u^n, \epsilon} \in O'\)、つまり、\(B_{u^1, \epsilon} \times ... \times B_{u^n, \epsilon} \subseteq U\)、がある。
\(\delta := \epsilon\)と取ろう。
\(u\)周りの\(O\)内のオープンボール（開球）\(B_{u, \delta} \in O\)を取ろう。
\(B_{u, \delta} \subseteq B_{u^1, \epsilon} \times ... \times B_{u^n, \epsilon}\)であることを見よう。
\(b \in B_{u, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(\langle b - u, b - u \rangle = \langle (b^1, ..., b^n) - (u^1, ..., u^n), (b^1, ..., b^n) - (u^1, ..., u^n) \rangle = \langle (b^1 - u^1, ..., b^n - u^n), (b^1 - u^1, ..., b^n - u^n) \rangle = \langle b^1 - u^1, b^1 - u^1 \rangle_1 + ... + \langle b^n - u^n, b^n - u^n \rangle_n \lt \delta^2\)。
それが意味するのは、\(\langle b^j - u^j, b^j - u^j \rangle_j \lt \delta^2 = \epsilon^2\)。
それが意味するのは、\(b^j \in B_{u^j, \epsilon}\)、したがって、\(b \in B_{u^1, \epsilon} \times ... \times B_{u^n, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{u, \delta} \subseteq B_{u^1, \epsilon} \times ... \times B_{u^n, \epsilon} \subseteq U\)。
したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U \in O\)。
