トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert f \vert: T \to \mathbb{R}, t \mapsto \vert f (t) \vert \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t \in T\)を任意のものとし、\(N_{\vert f \vert (t)} \subseteq \mathbb{R}\)を\(\vert f \vert (t)\)の任意のネイバーフッド（近傍）とする; ステップ2: \(0 \lt \vert f (t) \vert\)であると仮定し、\(\vert f \vert (t)\)の周りの以下を満たす任意のオープンボール（開球）\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)、つまり、\(\epsilon \lt \vert f (t) \vert\)および\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon} \subseteq N_{\vert f \vert (t)}\)、を取る; ステップ3: \(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)、を取り、\(\vert f \vert (U_t) \subseteq B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)であることを見る; ステップ4: \(0 = \vert f (t) \vert\)であると仮定し、\(\vert f \vert (t)\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)、つまり、\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon} \subseteq N_{\vert f \vert (t)}\)、を取る; ステップ5: \(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)、を取り、\(\vert f \vert (U_t) \subseteq B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(N_{\vert f \vert (t)} \subseteq \mathbb{R}\)を\(\vert f \vert (t)\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
ステップ2:
\(0 \lt \vert f (t) \vert\)であると仮定しよう。
\(\vert f \vert (t)\)の以下を満たす任意のオープンボール（開球体）\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)、つまり、\(\epsilon \lt \vert f (t) \vert\)および\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon} \subseteq N_{\vert f \vert (t)}\)、を取ろう。
ステップ3:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)、がある。
\(B_{f (t), \epsilon}\)は、全てポジティブ（正）であるか全てのネガティブ（負）であり、\(f (U_t)\)もそうであることに注意しよう。
\(\vert f \vert (U_t) \subseteq B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)であることを見よう。
\(u \in U_t\)を任意のものとしよう。
\(dist (\vert f \vert (u), \vert f \vert (t))\)のことを考えよう。
\(0 \lt f (t)\)である時、\(0 \lt f (u)\)、そして、\(dist (\vert f \vert (u), \vert f \vert (t)) = dist (f (u), f (t)) \lt \epsilon\)。
\(f (t) \lt 0\)である時、\(f (u) \lt 0\)、そして、\(dist (\vert f \vert (u), \vert f \vert (t)) = dist (- f (u), - f (t)) = \vert - f (u) - (- f (t)) \vert = \vert - f (u) + f (t) \vert = \vert f (u) - f (t) \vert = dist (f (u), f (t)) \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(\vert f \vert (U_t) \subseteq B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)。
ステップ4:
\(0 = \vert f (t) \vert\)であると仮定しよう。
\(\vert f \vert (t)\)の周りの以下を満たす任意のオープンボール（開球）\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)、つまり、\(B_{\vert f \vert (t), \epsilon} \subseteq N_{\vert f \vert (t)}\)、を取ろう。
ステップ5:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)、がある。
このケースでは、\(B_{f (t), \epsilon} = B_{0, \epsilon} = B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)であることに注意しよう。
\(\vert f \vert (U_t) \subseteq B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)であることを見よう。
\(u \in U_t\)を任意のものとしよう。
\(dist (\vert f \vert (u), \vert f \vert (t)) = dist (\vert f \vert (u), 0)\)、それは、\(dist (f (u), 0)\)または\(dist (- f (u), 0)\)に等しい。
\(dist (f (u), 0) \lt \epsilon\)。
\(dist (- f (u), 0) = dist (f (u), 0) \lt \epsilon\)。
したがって、\(dist (\vert f \vert (u), \vert f \vert (t)) \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(\vert f \vert (U_t) \subseteq B_{\vert f \vert (t), \epsilon}\)。
ステップ6:
したがって、どんなケースにおいても、\(\vert f \vert (U_t) \subseteq B_{\vert f \vert (t), \epsilon} \subseteq N_{\vert f \vert}\)。
したがって、\(\vert f \vert\)はコンティニュアス（連続）である。
