リーグループ（群）およびダブルプロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）タンジェント（接）スペース（空間）から構成要素タンジェント（接）スペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、アイソモーフィズム（同形写像）のインバース（逆）の後にアイデンティティ（単位要素）におけるマルチプリケーション（乗法）のディファレンシャルを行なうコンポジション（合成）は引数たちのアディション（合計）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の各ポイントにおいて、当該ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するポイントたちにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上へのある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーグループ（群）およびダブルプロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェント（接）スペース（空間）から構成要素たちのアイデンティティ（単位要素）たちにおけるタンジェント（接）スペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該アイソモーフィズム（同形写像）のインバース（逆）の後にアイデンティティ（単位要素）におけるマルチプリケーション（乗法）のディファレンシャルを行なうコンポジション（合成）は引数たちのアディション（合計）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）たち }\}\)
\(\phi\): \(: T_{(1, 1)}(G \times G) \to T_1G \oplus T_1G\), \(= \text{ 当該'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)
\(m\): \(: G \times G \to G\), \(= \text{ マルチプリケーションマップ（乗法写像） }\)
\(d m_{(1, 1)}\): \(: T_{(1, 1)}(G \times G) \to T_1G\), \(= \text{ 当該ディファレンシャル }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1}: T_1G \oplus T_1G \to T_1G, (v_1, v_2) \mapsto v_1 + v_2\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\phi (v) = (d \pi_{1, (1, 1)} (v), d \pi_{2, (1, 1)} (v))\)であり、\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1}\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ2: \(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((v^1, 0)) = v^1\)および\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((0, v^2)) = v^2\)であることを見る; ステップ3: 当該命題を結論する。
ステップ1:
各\(v \in T_{(1, 1)}(G \times G)\)に対して、\(\phi (v) = (d \pi_{1, (1, 1)} (v), d \pi_{2, (1, 1)} (v))\)、ここで、\(\pi_j: G \times G \to G\)は\(j\)-番目コンポーネントの中へのプロジェクション（射影）である、任意のファイナイト（有限）-プロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の各ポイントにおいて、当該ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するポイントたちにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上へのある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題によって。
\(\phi\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるから、\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1}\)はリニア（線形）である。
ステップ2:
任意の\((v^1, 0) \in T_1G \oplus T_1G\)のことを考えよう。
\(v := \phi^{-1} ((v^1, 0))\)はある\(C^\infty\)カーブ\(\gamma: I \to G \times G, t \mapsto (\gamma^1 (t), 1)\)、ここで、\(v^1 = d \gamma^1 (t) / d t \vert_0\)、によって実現される。
\(d m_{(1, 1)} (v) = d (m \circ \gamma (t)) / d t \vert_0 = d (\gamma^1 (t) 1) / d t \vert_0 = d \gamma_1 (t) / d t \vert_0 = v^1\)。
それが意味するのは、\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((v^1, 0)) = v^1\)。
任意の\((0, v^2) \in T_1G \oplus T_1G\)のことを考えよう。
\(v := \phi^{-1} ((0, v_2))\)はある\(C^\infty\)カーブ\(\gamma: I \to G \times G, t \mapsto (1, \gamma^2 (t))\)、ここで、\(v^2 = d \gamma^2 (t) / d t \vert_0\)、によって実現される。
\(d m_{(1, 1)} (v) = d (m \circ \gamma (t)) / d t \vert_0 = d (1 \gamma^2 (t)) / d t \vert_0 = d \gamma^2 (t) / d t \vert_0 = v^2\)。
それが意味するのは、\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((0, v_2)) = v_2\)。
ステップ3:
\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1}\)はリニア（線形）であるから、\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((v_1, v_2)) = d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((v_1, 0) + (0, v_2)) = d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((v_1, 0)) + d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((0, v_2)) = v_1 + v_2\)。
