リーグループ（群）に対して、インバージョン（逆）のアイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルは引数のインバージョン（逆）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の各ポイントにおいて、当該ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するポイントたちにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上へのある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリーグループ（群）およびダブルプロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェント（接）スペース（空間）から構成要素たちのアイデンティティ（単位要素）たちにおけるタンジェント（接）スペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該アイソモーフィズム（同形写像）のインバース（逆）の後にアイデンティティ（単位要素）におけるマルチプリケーション（乗法）のディファレンシャルを行なうコンポジション（合成）は引数たちのアディション（合計）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーグループ（群）に対して、インバージョン（逆）のアイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルは引数のインバージョン（逆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）たち }\}\)
\(i\): \(: G \to G\), \(= \text{ 当該インバージョン（逆） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d i_1: T_1M \to T_1M, v \mapsto - v\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m\)をマルチプリケーションマップ（乗法写像）とし、\(\phi: T_{(1, 1)}(G \times G) \to T_1G \times T_1G\)を当該'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）とし、\(m \circ (id, i): G \to G \times G \to G, g \mapsto m (id (g), i (g))\)のことを考え、\(d (m \circ (id, i))_1 = d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} \circ \phi \circ d (id, i)_1 = 0\)であることを見る; ステップ2: \(\phi \circ d (id, i)_1 (v) = (v, d i_1 (v))\)であることを見る; ステップ3: 任意のリーグループ（群）およびダブルプロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェント（接）スペース（空間）から構成要素たちのアイデンティティ（単位要素）たちにおけるタンジェント（接）スペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該アイソモーフィズム（同形写像）のインバース（逆）の後にアイデンティティ（単位要素）におけるマルチプリケーション（乗法）のディファレンシャルを行なうコンポジション（合成）は引数たちのアディション（合計）であるという命題を適用する。
ステップ1:
\(m: G \times G \to G\)をマルチプリケーションマップ（乗法写像）としよう。
当該'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(\phi: T_{(1, 1)}(G \times G) \to T_1G \oplus T_1G, v \mapsto (d \pi_{1, (1, 1)} (v), d \pi_{2, (1, 1)} (v))\)、ここで、\(\pi_j: G \times G \to G\)は\(j\)-番目コンポーネントの中へのプロジェクション（射影）である、がある、任意のファイナイト（有限）-プロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の各ポイントにおいて、当該ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するポイントたちにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上へのある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題によって。
\(m \circ (id, i): G \to G \times G \to G, g \mapsto m (id (g), i (g))\)、ここで、\(id\)はアイデンティティマップ（恒等写像）、のことを考えよう。
\(m \circ (id, i)\)は\(C^\infty\)である、\(C^\infty\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(d (m \circ (id, i))_1 = d m_{(1, 1)} \circ d (id, i)_1 = d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} \circ \phi \circ d (id, i)_1 = 0\)、なぜなら、\(m \circ (id, i)\)は\(1\)へコンスタントである。
ステップ2:
任意の\(v \in T_1G\)に対して、\(v\)はある\(C^\infty\)カーブ\(\gamma: I \to G, t \mapsto \gamma (t)\)によって実現される。
\(\phi \circ d (id, i)_1 (v) = (d \pi_{1, (1, 1)} (d (id, i)_1 (v)), d \pi_{2, (1, 1)} (d (id, i)_1 (v))) = (d (\pi_1 ((id (\gamma (t)), i (\gamma (t))))) / d t \vert_0, d (\pi_2 ((id (\gamma (t)), i (\gamma (t))))) / d t \vert_0) = (d (id (\gamma (t))) / d t \vert_0, d (i (\gamma (t))) / d t \vert_0) = (d \gamma (t) / d t \vert_0, d (i (\gamma (t))) / d t \vert_0) = (v, d i_1 (v))\)。
ステップ3:
しかし、\(d m_{(1, 1)} \circ \phi^{-1} ((v, d i_1 (v))) = v + d i_1 (v)\)、任意のリーグループ（群）およびダブルプロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェント（接）スペース（空間）から構成要素たちのアイデンティティ（単位要素）たちにおけるタンジェント（接）スペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該アイソモーフィズム（同形写像）のインバース（逆）の後にアイデンティティ（単位要素）におけるマルチプリケーション（乗法）のディファレンシャルを行なうコンポジション（合成）は引数たちのアディション（合計）であるという命題によって。
したがって、\(v + d i_1 (v) = 0\)、したがって、\(d i_1 (v) = - v\)。
