\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、コベクトルの、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のコベクトルの、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\Lambda_q (V: F)\): \(= \text{ 当該 } q \text{ -コベクトルたちスペース（空間） }\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b_l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(B'\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b'_l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(B^*\): \(= B \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{b^l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(B'^*\): \(= B' \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{b'^l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(\widetilde{B^*}\): \(= \Lambda_q (V: F) \text{ に対する} B \) に関する \(\text{ スタンダード（標準）ベーシス（基底） } = \{b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V) \land j_1 \lt ... \lt j_k\}\)
\(\widetilde{B'^*}\): \(= \Lambda_q (V: F) \text{ に対する } B' \) に関する \(\text{ スタンダード（標準）ベーシス（基底） } = \{b'^{j_1} \wedge ... \wedge b'^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V) \land j_1 \lt ... \lt j_k\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(b'_l = b_m M^m_l\)
\(\implies\)
\(\forall f = f_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} = f'_{l_1, ..., l_q} b'^{l_1} \wedge ... \wedge b'^{l_q} \in \Lambda_q (V: F) (f'_{n_1, ..., n_q} = \sum_{(j_1, ..., j_q)} \sum_{\lambda} sgn \lambda f_{j_1, ..., j_q} M^{j_{\lambda_1}}_{n_1} ... M^{j_{\lambda_q}}_{n_q}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(b'^{l_1} \wedge ... \wedge b'^{l_k} = \sum_{(j_1, ..., j_q)} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{j_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{j_{\sigma_q}} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}\)であることを見る; ステップ2: ステップ1の結果を\(f_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} = f'_{l_1, ..., l_q} b'^{l_1} \wedge ... \wedge b'^{l_q}\)の中に入れ、\(f_{j_1, ..., j_q}\)を\(f'_{l_1, ..., l_q}\)たちで表わす; ステップ3: \(f'_{n_1, ..., n_q}\)を\(f_{j_1, ..., j_q}\)たちで表現する。
ステップ1:
\(b'^{l_1} \wedge ... \wedge b'^{l_q} = \sum_{(j_1, ..., j_q)} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{j_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{j_{\sigma_q}} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}\)、任意の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ2:
ステップ1の結果を\(f_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} = f'_{l_1, ..., l_q} b'^{l_1} \wedge ... \wedge b'^{l_q}\)の中に入れ、\(f_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_{(j_1, .... j_q)} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{j_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{j_{\sigma_q}} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}\)。
それが意味するのは、\(f_{j_1, ..., j_q} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{j_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{j_{\sigma_q}}\)。
ステップ3:
\(f_{j_1, ..., j_q}\は、\(j_1 \lt ... \lt j_q\)に対してだけであるところ、それを全ての\(1 \le m_1 \le dim V, ..., 1 \le m_q \le dim V\)に拡張して、\(g_{m_1, ..., m_q}\)にしよう。
\(\{m_1, ..., m_q\}\)が互いに異なる時、それは、\((j_1, ..., j_q)\)をあるパーミュテーション（並び替え）\(\lambda\)によって並び替えたものである、それが意味するのは、\((m_1, ..., m_q) = (j_{\lambda_1}, ..., j_{\lambda_q})\)であり、\(g_{m_1, ..., m_q} := sgn \lambda f_{j_1, ..., j_q}\)としよう。
\(\{m_1, ..., m_q\}\)が互いに異なっていない時、\(g_{m_1, ..., m_q} := 0\)としよう。
\(g_{m_1, ..., m_q} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{m_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{\sigma_q}}\)であることを見よう。
\((m_1, ..., m_q) = (j_1, ..., j_q)\)である時、それは、\(g_{m_1, ..., m_q} = f_{j_1, ..., j_q} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{j_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{j_{\sigma_q}}\)に他ならない、それは、ステップ2によって成立する。
\((m_1, ..., m_q)\)が\((j_1, ..., j_q)\)を\(\lambda\)によってパーミュテート（並び替え）したものである時、それは、\(g_{m_1, ..., m_q} = sgn \lambda f_{j_1, ..., j_q} = sgn \lambda f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{j_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{j_{\sigma_q}} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \lambda^{-1} \circ \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{j_{(\lambda \circ \lambda^{-1} \circ \sigma)_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{j_{(\lambda \circ \lambda^{-1} \circ \sigma)_q}}\)、なぜなら、\(sgn \lambda = sgn \lambda^{-1}\)および\(sgn \lambda^{-1} sgn \sigma = sgn \lambda^{-1} \circ \sigma\)。
しかし、\(j_{(\lambda \circ \lambda^{-1} \circ \sigma)_r} = m_s\)であるところ、\(m_s = j_{\lambda_s}\)、したがって、\(j_{(\lambda \circ \lambda^{-1} \circ \sigma)_r} = j_{\lambda_s}\)、それが意味するのは、\(\lambda_s = (\lambda \circ \lambda^{-1} \circ \sigma)_r\)、それが意味するのは、\(s = (\lambda^{-1} \circ \sigma)_r\)。
したがって、\(g_{m_1, ..., m_q} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \lambda^{-1} \circ \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{m_{(\lambda^{-1} \circ \sigma)_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{(\lambda^{-1} \circ \sigma)_q}} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_{\lambda^{-1} \circ \sigma} sgn \lambda^{-1} \circ \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{m_{(\lambda^{-1} \circ \sigma)_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{(\lambda^{-1} \circ \sigma)_q}}\)、なぜなら、\(\sigma\)が\((1, ..., q)\)の全てのパーミュテーション（並び替え）たちを巡る時、\(\lambda^{-1} \circ \sigma\)の\(\lambda^{-1}\)を固定したものは\((1, ..., q)\)の全てのパーミュテーション（並び替え）たちを巡る。
それは、\(f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{m_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{\sigma_q}}\)に等しい、なぜなら、それは、単に\(\lambda^{-1} \circ \sigma\)を\(\sigma\)で置き換えただけのものである、それらは両方とも\((1, ..., q)\)の全てのパーミュテーション（並び替え）たちを巡るところ。
\(\{m_1, ..., m_q\}\)が互いに異なっていない時、\(f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{m_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{\sigma_q}} = 0\)、なぜなら、各固定した\(\sigma\)に対して、ある\(r \neq s\)ペアに対して\(m_{\sigma_r} = m_{\sigma_s}\)であるところ、\(\sigma\)の後に\(\sigma_r\)と\(\sigma_s\)をスワップする対応する\(\sigma'\)があり、\(sgn \sigma' = - sgn \sigma\)、ところで、\({M^{-1}}^{l_1}_{m_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{\sigma_q}} = {M^{-1}}^{l_1}_{m_{\sigma'_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{\sigma'_q}}\)。したがって、\(g_{m_1, ..., m_q} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{m_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{\sigma_q}}\)。
そこで、\(g_{m_1, ..., m_q} M^{m_1}_{n_1} ... M^{m_q}_{n_q} = f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{l_1}_{m_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{l_q}_{m_{\sigma_q}} M^{m_1}_{n_1} ... M^{m_q}_{n_q}\)を取ろう、ここで、\(n_1 \lt ... \lt n_q\)。
右辺に対して、各固定した\(\sigma\)に対して、各\(\sigma_r\)に対して、\(\sigma_r = s\)、そして、\({M^{-1}}^{l_r}_{m_{\sigma_r}} M^{m_s}_{n_s} = {M^{-1}}^{l_r}_{m_{\sigma_r}} M^{m_{\sigma_r}}_{n_{\sigma_r}} = \delta^{l_r}_{n_{\sigma_r}}\)、したがって、右辺は、\(f'_{l_1, ..., l_q} \sum_\sigma sgn \sigma \delta^{l_1}_{n_{\sigma_1}} ... \delta^{l_q}_{n_{\sigma_q}}\)である、ここで、\((l_1, ..., l_q) = (n_{\sigma_1}, ..., n_{\sigma_q})\)である項だけが非ゼロである、しかし、\(l_1 \lt ... \lt l_q\)および\(n_1 \lt ... \lt n_q\)であるから、当該項は\(\sigma = id\)を持つ、そして、右辺は、\(f'_{n_1, ..., n_q}\)である。
したがって、\(f'_{n_1, ..., n_q} = g_{m_1, ..., m_q} M^{m_1}_{n_1} ... M^{m_q}_{n_q}\)。
\(g_{m_1, ..., m_q} M^{m_1}_{n_1} ... M^{m_q}_{n_q} = \sum_{(j_1, .... j_q)} \sum_{\lambda} sgn \lambda f_{j_1, ..., j_q} M^{j_{\lambda_1}}_{n_1} ... M^{j_{\lambda_q}}_{n_q}\)。
したがって、\(f'_{n_1, ..., n_q} = \sum_{(j_1, .... j_q)} \sum_{\lambda} sgn \lambda f_{j_1, ..., j_q} M^{j_{\lambda_1}}_{n_1} ... M^{j_{\lambda_q}}_{n_q}\)。
3: 注
勿論、当該結果は、別の（多分、よりシンプルな方法）方法でも得られる: ステップ1において、\(b'^{l_1} \wedge ... \wedge b'^{l_q}\)を\(b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}\)たちで表わす代わりに、\(b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_q}\)を\(b'^{j_1} \wedge ... \wedge b'^{j_q}\)たちで表わす（\(M\)が\(M^{-1}\)の代わりに現われる）; ステップ2において、\(f'_{j_1, ..., j_q}\)を\(f_{l_1, ..., l_q}\)たちで表現する; その表現も悪くないが、それを、本命題の結果へ変形できる、いくつかのインデックスたちの名前たちを付け替えるだけで。
