\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、2個の任意のチャートたちのインターセクション（共通集合）上にて、'コーディネート（座標）たちのトランジション（遷移）たちのコンポジション（合成）のパーシャルデリバティブ（偏微分）に対するチェイン（鎖）ルールのように見える'ルールが成立するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(q\): \(\in \mathbb{N}\)
\(\Lambda_q (T_mM)\): \(= m \text{ における当該 } q \text{ -コベクトルたちスペース（空間） }\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ 周りの全てのチャートたち }\}\)
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ 周りの全てのチャートたち }\}\)
\(B\): \(= \Lambda_q (T_mM) \text{ に対する } (U_m \subseteq M, \phi_m)\) に関する \( \text{ スタンダード（標準）ベーシス（基底） }\), \(= \{d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q} \vert \forall l \in \{1, ..., q\} (1 \le j_l \le d) \land j_1 \lt ... \lt j_q\}\)
\(B'\): \(= \Lambda_q (T_mM) \text{ に対する } (U'_m \subseteq M, \phi'_m)\) に関する \(\text{ スタンダード（標準）ベーシス（基底） }\), \(= \{d x'^{l_1} \wedge ... \wedge d x'^{l_q} \vert \forall l \in \{1, ..., q\} (1 \le j_l \le d) \land j_1 \lt ... \lt j_q\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d x'^{j_1} \wedge ... \wedge d x'^{j_q} = \sum_{(l_1, ..., l_q)} \sum_{\sigma} sgn \sigma \partial x'^{j_1} / \partial x^{l_{\sigma_1}} ... \partial x'^{j_q} / \partial x^{l_{\sigma_q}} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q}\)
//
\(x\)のファンクション（関数）としての\(x'\)は、\(\phi'_m \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m \cap U'_m)}: \phi_m (U_m \cap U'_m) \to \phi'_m (U_m \cap U'_m)\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題および任意の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。
ステップ1:
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\(\partial / \partial x'^j = \partial x^m / \partial x'^j \partial / \partial x^m\)。
任意の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\(d x'^{j_1} \wedge ... \wedge d x'^{j_q} = \sum_{(l_1, ..., l_q)} \sum_{\sigma} sgn \sigma \partial x'^{j_1} / \partial x^{l_{\sigma_1}} ... \partial x'^{j_q} / \partial x^{l_{\sigma_q}} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q}\): マトリックス（行列）\(\begin{pmatrix} \partial x^m / \partial x'^j \end{pmatrix}\)のインバース（逆）は、\(\begin{pmatrix} \partial x'^n / \partial x^l \end{pmatrix}\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、2個の任意のチャートたちのインターセクション（共通集合）上にて、'コーディネート（座標）たちのトランジション（遷移）たちのコンポジション（合成）のパーシャルデリバティブ（偏微分）に対するチェイン（鎖）ルールのように見える'ルールが成立するという命題によって。
