\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するアンチシンメトリック（反対称）-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\Lambda_q (V: F)\): \(= \text{ 当該 } q \text{ -コベクトルたちスペース（空間） }\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b_l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(B'\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b'_l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(B^*\): \(= B \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{b^l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(B'^*\): \(= B' \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{b'^l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(\widetilde{B^*}\): \(= \{b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} \vert \forall l \in \{1, ..., q\} (1 \le j_l \le dim V) \land j_1 \lt ... \lt j_q\}\)
\(\widetilde{B'^*}\): \(= \{b'^{j_1} \wedge ... \wedge b'^{j_q} \vert \forall l \in \{1, ..., q\} (1 \le j_l \le dim V) \land j_1 \lt ... \lt j_q\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(b'_l = b_m M^m_l\)
\(\implies\)
\(b'^{j_1} \wedge ... \wedge b'^{j_q} = \sum_{(l_1, ..., l_q)} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{j_1}_{l_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{j_q}_{l_{\sigma_q}} b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_q}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\widetilde{B^*}\)および\(\widetilde{B'^*}\)は\(\Lambda_q (V: F)\)に対するベーシス（基底）たちであることを見る; ステップ2: \(b'^l = {M^{-1}}^l_m b^m\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\widetilde{B^*}\)および\(\widetilde{B'^*}\)は、本当に、\(\Lambda_q (V: F)\)に対するベーシス（基底）たちである、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題によって。
ステップ2:
\(b'^l = {M^{-1}}^l_m b^m\)、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ3:
\(b'^{j_1} \wedge ... \wedge b'^{j_q} = ({M^{-1}}^{j_1}_{m_1} b^{m_1}) \wedge ... \wedge ({M^{-1}}^{j_q}_{m_q} b^{m_q})\)。
以下の事実に留意する、つまり、一般的に、各\(f_j, f'_j \in \Lambda_1 (V: F)\)および各\(r, r' \in F\)に対して、\(f_1 \wedge ... \wedge (r f_j + r' f'_j) \wedge ... \wedge f_l = r f_1 \wedge ... \wedge f_j \wedge ... \wedge f_l + r' f_1 \wedge ... \wedge f'_j \wedge ... \wedge f_l\): マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義に対する"注"を参照。
したがって、\(({M^{-1}}^{j_1}_{m_1} b^{m_1}) \wedge ... \wedge ({M^{-1}}^{j_q}_{m_q} b^{m_q}) = {M^{-1}}^{j_1}_{m_1} ... {M^{-1}}^{j_q}_{m_q} b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_q}\)。
しかし、問題は、\((m_1, ..., m_q)\)は必ずしも昇順にないということ; 実のところ、重複たちさえ含むかもしれない。
\((m_1, ..., m_q)\)が何らかの重複を含む時、\(b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_q} = 0\): マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義に対する"注"を参照。したがって、そうした項たちを無視し、\((m_1, ..., m_q)\)は重複を持たないと仮定することができる。
\(\sigma\)を\((m_1, ..., m_q)\)のパーミュテーション（並び替え）でそれを昇順に持ってくるものとしよう（\(\sigma\)は\((m_1, ..., m_q)\)に依存する）: \((m_{\sigma_1}, ..., m_{\sigma_q})\)は昇順にある。
\((m_{\sigma_1}, ..., m_{\sigma_q})\)を\((o_1, ..., o_q)\)と表記しよう。各\(p \in \{1, ..., q\}\)に対して、\(m_p = o_r = m_{\sigma_r}\)、それが意味するのは、\(p = \sigma_r = \sigma (r)\)、したがって、\(r = \sigma^{-1} (p)\)、したがって、\(m_p = o_r = o_{\sigma^{-1} (p)}\)。
\(b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_q} = sgn \sigma b^{m_{\sigma_1}} \wedge ... \wedge b^{m_{\sigma_q}}\)。
したがって、合計取得を意図せず、\({M^{-1}}^{j_1}_{m_1} ... {M^{-1}}^{j_q}_{m_q} b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_q} = {M^{-1}}^{j_1}_{m_1} ... {M^{-1}}^{j_q}_{m_q} sgn \sigma b^{m_{\sigma_1}} \wedge ... \wedge b^{m_{\sigma_q}} = sgn \sigma {M^{-1}}^{j_1}_{m_1} ... {M^{-1}}^{j_q}_{m_q} b^{m_{\sigma_1}} \wedge ... \wedge b^{m_{\sigma_q}} = sgn \sigma {M^{-1}}^{j_1}_{o_{\sigma^{-1} (1)}} ... {M^{-1}}^{j_q}_{o_{\sigma^{-1} (q)}} b^{o_1} \wedge ... \wedge b^{o_q} = sgn \sigma^{-1} {M^{-1}}^{j_1}_{o_{\sigma^{-1} (1)}} ... {M^{-1}}^{j_q}_{o_{\sigma^{-1} (q)}} b^{o_1} \wedge ... \wedge b^{o_q}\)。
\((m_1, ..., m_q)\)が\((o_1, ...., o_q)\)のパーミュテーション（並び替え）たちである項たちは、以下のように合計を取ることができる、つまり、\(\sum_{\sigma} sgn \sigma^{-1} {M^{-1}}^{j_1}_{o_{\sigma^{-1} (1)}} ... {M^{-1}}^{j_q}_{o_{\sigma^{-1} (q)}} b^{o_1} \wedge ... \wedge b^{o_q} = \sum_{\sigma^{-1}} sgn \sigma^{-1} {M^{-1}}^{j_1}_{o_{\sigma^{-1} (1)}} ... {M^{-1}}^{j_q}_{o_{\sigma^{-1} (q)}} b^{o_1} \wedge ... \wedge b^{o_q} = \sum_{\sigma} sgn \sigma {M^{-1}}^{j_1}_{o_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{j_q}_{o_{\sigma_q}} b^{o_1} \wedge ... \wedge b^{o_q}\)。
したがって、\(b'^{j_1} \wedge ... \wedge b'^{j_q} = \sum_{(l_1, ..., l_q)} \sum_\sigma sgn \sigma {M^{-1}}^{j_1}_{l_{\sigma_1}} ... {M^{-1}}^{j_q}_{l_{\sigma_q}} b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_q}\)。
