メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントたちのシーケンス（列）に対して、シーケンス（列）はコーシーである、もしも、各\(\epsilon\)に対して、\(N\)で、\((N + 1)\)-番目ポイントと各後続ポイントの間のディスタンス（距離）が\(\epsilon\)より小さいものがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上のポイントたちの任意のシーケンス（列）に対して、当該シーケンス（列）はコーシーである、もしも、各\(\epsilon\)に対して、ある\(N\)で、\((N + 1)\)-番目ポイントと各後続ポイントの間のディスタンス（距離）が\(\epsilon\)より小さいものがある場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(s\): \(: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to T\)
//
ステップ（言明）たち:
\(s \in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists N \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (\forall j \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } N \lt j (dist (s (N + 1), s (j)) \lt \epsilon)))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: そうしたある\(N\)があると仮定する; ステップ2: \(s\)はコーシーコンディションを満たすことを見る; ステップ3: \(s\)はコーシーコンディションを満たすと仮定する; ステップ4: そうしたある\(N\)があることを見る。
ステップ1:
そうしたある\(N\)があると仮定しよう。
ステップ2:
\(\epsilon\)を任意のものとしよう。
\(\epsilon / 2\)に対して、以下を満たすある\(N\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j\)に対して、\(dist (s (N + 1), s (j)) \lt \epsilon / 2\)、がある。
\(N \lt l, m\)を満たす各\(l, m\)に対して、\(dist (s (l), s (m)) \le dist (s (l), s (N + 1)) + dist (s (N + 1), s (m)) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)、それが意味するのは、\(s\)はコーシーコンディションを満たすということ。
ステップ3:
\(s\)はコーシーコンディションを満たすと仮定しよう。
\(\epsilon\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N\)、つまり、\(N \lt l, m\)を満たす各\(l, m\)に対して、\(dist (s (l), s (m)) \lt \epsilon\)、がある。
\(l = N + 1\)と取って、\(dist (s (N + 1), s (m)) \lt \epsilon\)、\(N \lt m\)を満たす各\(m\)に対して。
