ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）に対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のノルムを持つもの、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）に対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert: V \to \mathbb{R}\)を持ち、\(\Vert \bullet \Vert\)によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\Vert \bullet \Vert \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(v \in V\)、\(\Vert v \Vert\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\Vert v \Vert}\)に対して、\(v\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{v, \epsilon}\)、つまり、\(\Vert B_{v, \epsilon} \Vert \subseteq U_{\Vert v \Vert}\)、を取る。
\(v \in V\)を任意のものとしよう。
\(U_{\Vert v \Vert} \subseteq \mathbb{R}\)を\(\Vert v \Vert\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
\(\Vert v \Vert\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\Vert v \Vert, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{\Vert v \Vert, \epsilon} \subseteq U_{\Vert v \Vert}\)、がある、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義によって。
\(v\)周りのオープンボール（開球）\(B_{v, \epsilon} \subseteq V\)を取ろう。
\(v' \in B_{v, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(\Vert v' - v \Vert \lt \epsilon\)。
\(\Vert v' \Vert = \Vert v' - v + v \Vert \leq \Vert v' - v \Vert + \Vert v \Vert \lt \epsilon + \Vert v \Vert\)。
したがって、\(\Vert v' \Vert - \Vert v \Vert \lt \epsilon\)。
\(\Vert v \Vert = \Vert v - v' + v' \Vert \leq \Vert v - v' \Vert + \Vert v' \Vert \lt \epsilon + \Vert v' \Vert\)。
したがって、\(\Vert v \Vert - \Vert v' \Vert \lt \epsilon\)。
したがって、\(\vert \Vert v' \Vert - \Vert v \Vert \vert \lt \epsilon\)。
したがって、\(\Vert v' \Vert \in B_{\Vert v \Vert, \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(\Vert B_{v, \epsilon} \Vert \subseteq B_{\Vert v \Vert, \epsilon} \subseteq U_{\Vert v \Vert}\)。
したがって、\(\Vert \bullet \Vert\)は\(v\)においてコンティニュアス（連続）である。
\(v \in V\)は恣意的であるから、\(\Vert \bullet \Vert\)はコンティニュアス（連続）である。
3: 注
私たちは、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題および任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を証明したが、そのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）要求たちは実は不必要である。
