キャラクタリスティックが非\(2\)のフィールド（体）および非ゼロ要素\(b\)に対して、\(b\)プラス\(r'\)を\(b\)プラス\(r\)で割ったものが\(b\)マイナス\(r'\)を\(b\)マイナス\(r\)で割ったものに等しい、もしも、\(r'\)は\(r\)に等しい場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、キャラクタリスティックが非\(2\)の任意のフィールド（体）および任意の非ゼロ要素\(b\)に対して、\(b\)プラス\(r'\)を\(b\)プラス\(r\)で割ったものが\(b\)マイナス\(r'\)を\(b\)マイナス\(r\)で割ったものに等しい、もしも、\(r'\)は\(r\)に等しい場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)で、\(Ch (F) \neq 2\)を満たすもの
\(b\): \(\in F\), \(\neq 0\)
\(r\): \(\in F\)で、\(b + r \neq 0 \land b - r \neq 0\)を満たすもの
\(r'\): \(\in F\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((b + r') / (b + r) = (b - r') / (b - r)\)
\(\iff\)
\(r' = r\)
//
2: 注
\(Ch (F) = 2\)である時に本命題が成立しないある例として、\(F = \mathbb{Z} / 2\)、インテジャー（整数）たちモジュロ\(2\)フィールド（体）、\(b = 1, r = 0, r' = 1\)としよう: \((b + r') / (b + r) = (1 + 1) / (1 + 0) = 0 / 1 = 0 = 0 / 1 = (1 - 1) / (1 - 0) = (b - r') / (b - r)\)、しかし、\(r' = 1 \neq 0 = r\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(r' = r\)であると仮定し、\((b + r') / (b + r) = (b - r') / (b - r)\)であることを見る; ステップ2: \((b + r') / (b + r) = (b - r') / (b - r)\)であると仮定し、\(r' = r\)であることを見る。
ステップ 1:
\(r' = r\)であると仮定しよう。
\((b + r') / (b + r) = (b + r) / (b + r) = 1 = (b - r) / (b - r) = (b - r') / (b - r)\)。
ステップ2:
\((b + r') / (b + r) = (b - r') / (b - r)\)であると仮定しよう。
\((b + r') (b - r) = (b - r') (b + r)\)、したがって、\(r' (b - r) + r' (b + r) = b (b + r) - b (b - r)\)、したがって、\(r' (b - r + b + r) = b (b + r - b + r)\)、したがって、\(r' (b + b) = b (r + r) = b r + b r = r (b + b)\)、したがって、\(r' b (1 + 1) = r b (1 + 1)\)。
\(b (1 + 1) \neq 0\)である（なぜなら、\(Ch (F) \neq 2\)）、から、\(r' = r\)。
