トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）に関するバウンダリー（境界）はサブセット（部分集合）のスーパースペース（超空間）に関するバウンダリー（境界）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）に包含されているという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）、当該サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）に関するバウンダリー（境界）は当該サブセット（部分集合）の当該スーパースペース（超空間）に関するバウンダリー（境界）内に包含されている命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\dot{S}_T \subseteq \dot{S}_{T'}\)
//
2: 注
等号は必ずしも成立しない。
例えば、\(T' = \mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(T = (-1, 1)\)、\(S = (-1, 1)\)としよう、すると、\(\dot{S}_T = \emptyset \subset [-1, 1] = \dot{S}_{T'}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\overline{S}_T \subseteq \overline{S}_{T'}\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{T \setminus S}_T \subseteq \overline{T' \setminus S}_{T'}\); ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\overline{S}_T \subseteq \overline{S}_{T'}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）に包含されているという命題によって。
ステップ2:
私たちはふんだんに、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を使う、これ以降。
\(\overline{T \setminus S}_T \subseteq \overline{T' \setminus S}_{T'}\)であることを見よう。
\(p \in \overline{T \setminus S}_T\)を任意のものとしよう。
\(p \in T \setminus S\)、または、\(p\)は\(T \setminus S\)の\(T\)上におけるアキュームレーション（集積）ポイントである。
\(p \in T \setminus S\)である時は、\(p \in T' \setminus S\)、したがって、\(p \in \overline{T' \setminus S}_{T'}\)。
\(p\)が\(T \setminus S\)の\(T\)上におけるアキュームレーション（集積）ポイントである時は、\(U'_p \subseteq T'\)を\(p\)の\(T'\)上における任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう、すると、\(U'_p \cap T\)は\(p\)の\(T\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、したがって、\(U'_p \cap T \cap (T \setminus S) \neq \emptyset\)、したがって、\(\emptyset \subset U'_p \cap T \cap (T \setminus S) \subseteq U'_p \cap (T' \setminus S) \neq \emptyset\)、それが意味するのは、\(p\)は\(T' \setminus S\)の\(T'\)上におけるアキュームレーション（集積）ポイントであるということ、それが意味するのは、\(p \in \overline{T' \setminus S}_{T'}\)。
したがって、\(\overline{T \setminus S}_T \subseteq \overline{T' \setminus S}_{T'}\)。
ステップ3:
\(\dot{S}_T = \overline{S}_T \cap \overline{T \setminus S}_T\)および\(\dot{S}_{T'} = \overline{S}_{T'} \cap \overline{T' \setminus S}_{T'}\)であるから、ステップ1およびステップ2によって、\(\dot{S}_T = \overline{S}_T \cap \overline{T \setminus S}_T \subseteq \overline{S}_{T'} \cap \overline{T' \setminus S}_{T'} = \dot{S}_{T'}\)。
