コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{C}^d\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)
\(*\langle \bullet, \bullet \rangle\): \(:\mathbb{C}^d \times \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}, (v_1, v_2) \mapsto \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v_1^j \overline{v_2^j}\), \(\in \{\mathbb{C}^d \text{ 上の全てのインナープロダクト（内積）たち }\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
それは、本当にインナープロダクト（内積）である: 1) \(0 \le \langle v_1, v_1\rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v_1^j \overline{v_1^j}\)で、等号は、もしも、\(v_1 = 0\)である場合、そしてその場合のみ成立する; 2) \(\langle v_1, v_2 \rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v_1^j \overline{v_2^j} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \overline{v_2^j} v_1^j = \overline{\sum_{j \in \{1, ..., d\}} v_2^j \overline{v_1^j}} = \overline{\langle v_2, v_1\rangle}\); 3) \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} (r_1 v_1^j + r_2 v_2^j) \overline{v_3^j} = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} r_1 v_1^j \overline{v_3^j} + \sum_{j \in \{1, ..., d\}} r_2 v_2^j \overline{v_3^j} = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\)。
コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）は、暗黙にコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つものと仮定されがちであるが、必ずしもそうではない。
