ファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）（ポリノミアル（多項式）次元数より多くの要素たちを持つ）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題を認めている。
- 読者は、サインたちとコサインたちで任意の互いに素な角速度たちを持つものたちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）に対して、もしも、それがコンスタントである場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つ任意のコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(p (x_1, \overline{x_1}, ..., x_n, \overline{x_n})\): \(= \sum_{j_1 + ... + j_n = m} \sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = j_1} ... \sum_{s_{n, i} + s_{n, c} = j_n} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_1}^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}} + ... + \sum_{j_1 + ... + j_n = 0} \sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = j_1} ... \sum_{s_{n, i} + s_{n, c} = j_n} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_1}^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}}\)、ここで、\(j_l, s_{l, i}, s_{l, c} \in \mathbb{N}\)、\(\in \{\mathbb{C} \text{ 上方の全てのポリノミアル（多項式）たちで、変数たち } x_1, \overline{x_1}, ..., x_n, \overline{x_n} \text{ を持つものたち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p (x_1, \overline{x_1}, ..., x_n, \overline{x_n}) \equiv 0\)
\(\implies\)
\(\forall l \in \{0, ..., m\} (\forall (j_1, ..., j_n) \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } j_1 + ... + j_n = l \forall (s_{1, i}, s_{1, c}), ..., (s_{n, i}, s_{n, c}) \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } s_{1, i} = s_{1, c} = j_1, ..., s_{n, i} = s_{n, c} = j_n ((p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} = 0)))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p (x_1, \overline{x_1}, ..., x_n, \overline{x_n})\)を\(x_1, \overline{x_1}\)のポリノミアル（多項式）とみなす、各固定された\((x_2, ..., x_n)\)を持って、当該項たちを\(j_1\)に従ってクラス分けする、そして、各クラスの合計はコンスタントに\(0\)であることを見る; ステップ2: 各クラスに対して、各コエフィシェント（係数）は\(0\)であることを見る; ステップ3: ステップ2の各コエフィシェント（係数）を\(x_2, \overline{x_2}\)のポリノミアル（多項式）とみなす、各固定された\((x_3, ..., x_n)\)を持って、そして、各コエフィシェント（係数）は\(0\)であることを見る; ステップ4: 等々と続く。
ステップ1:
\(p (x_1, \overline{x_1}, ..., x_n, \overline{x_n}) = (\sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = m} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}}) + ... + (\sum_{s_{1, i} + s_{s, c} = 0} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}})\)、ここで、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}}\)は\(x_2, \overline{x_2}, ..., x_n, \overline{x_n}\)のポリノミアル（多項式）である: \(p_{s_{1, i}, s_{1, c}} := \sum_{s_{2, i} + s_{2, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = m - (s_{1, i} + s_{1, c})} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_2}^{s_{2, i}} {\overline{x_2}}^{s_{2, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}} + ... + \sum_{s_{2, i} + s_{2, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = 0 - (s_{1, i} + s_{1, c})} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_2}^{s_{2, i}} {\overline{x_2}}^{s_{2, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}}\): 例えば、\(s_{1, i} + s_{1, c} = m\)である時は、\(\sum_{s_{2, i} + s_{2, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = m - (s_{1, i} + s_{1, c})}\)は\(s_{2, i} + s_{2, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = 0\)であるただ1項だけを持ち、\(\sum_{s_{2, i} + s_{2, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = 0 - (s_{1, i} + s_{1, c})}\)は\(0\)項を持つ。
\((x_2, ..., x_n)\)を任意の値に固定しよう。
すると、\(p (x_1, \overline{x_1}) := p (x_1, \overline{x_1}, ..., x_n, \overline{x_n})\)は、\((x_1, \overline{x_1})\)の\(\mathbb{C}\)上方のポリノミアル（多項式）である。
\(x_1 = y + z i\)としよう。
すると、各\(s_{1, i} + s_{1, c} = l\)に対して、\(x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}}\)の実部と虚部の各項は、\((y, z)\)の\(l\)-次元だけポリノミアル（多項式）である、そして、\(\sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = l} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}}\)の実部と虚部の各々は、\(\sum_{t \in \{0, ..., l\}} c_t y^t z^{l - t}\)である、何らかの\(c_t \in \mathbb{C}\)たちに対して。
\(p (x_1, \overline{x_1}, ..., x_n, \overline{x_n}) = (\sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = m} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}}) + ... + (\sum_{s_{1, i} + s_{s, c} = 0} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}})\)の実部および虚部の各々のことを考えると、任意のフィールド（体）（ポリノミアル（多項式）次元数より多くの要素たちを持つ）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題によって、各\(c_t = 0\)。
それが意味するのは、\(\sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = l} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}} = 0\)、\(x_1\)に関してコンスタントに。
実のところ、それは各\((x_2, ..., x_n)\)に対して成立するから、それはコンスタントに\(0\)である、\((x_1, ..., x_n)\)に関して。
ステップ2:
各\(l \in \{0, ..., m\}\)および\(\sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = l} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}} = 0\)に対して、各\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}} = 0\)であることを見よう。
\(x_1 = r e^{\theta i}\)としよう。
\(\sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = l} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} x_1^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}} = \sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = l} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} (r e^{\theta i})^{s_{1, i}} (r e^{- \theta i})^{s_{1, c}} = \sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = l} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} r^{s_{1, i}} e^{s_{1, i} \theta i} r^{s_{1, c}} e^{- s_{1, c} \theta i} = r^l \sum_{s_{1, i} + s_{1, c} = l} p_{s_{1, i}, s_{1, c}} e^{(s_{1, i} - s_{1, c}) \theta i} = r^l (p_{l, 0} e^{(l - 0) \theta i} + p_{l - 1, 1} e^{(l - 1 - 1) \theta i} + p_{l - 2, 2} e^{(l - 2 - 2) \theta i} + ... + p_{0, l} e^{(0 - l) \theta i}) = r^l (p_{l, 0} e^{l \theta i} + p_{l - 1, 1} e^{(l - 2) \theta i} + p_{l - 2, 2} e^{(l - 4) \theta i} + ... + p_{0, l} e^{- l \theta i}) = r^l ((p_{l, 0} cos (l \theta) + p_{l - 1, 1} cos ((l - 2) \theta) + p_{l - 2, 2} cos ((l - 4) \theta) + ... + p_{0, l} cos (- l \theta)) + (p_{l, 0} sin (l \theta) + p_{l - 1, 1} sin ((l - 2) \theta) + p_{l - 2, 2} sin ((l - 4) \theta) + ... + p_{0, l} sin (- l \theta)) i) = r^l ((p_{l, 0} cos (l \theta) + p_{l - 1, 1} cos ((l - 2) \theta) + p_{l - 2, 2} cos ((l - 4) \theta) + ... + p_{0, l} cos (l \theta)) + (p_{l, 0} sin (l \theta) + p_{l - 1, 1} sin ((l - 2) \theta) + p_{l - 2, 2} sin ((l - 4) \theta) + ... - p_{0, l} sin (l \theta)) i) \equiv 0\)。
その実部を見ると、\(p_{l, 0} cos (l \theta) + p_{l - 1, 1} cos ((l - 2) \theta) + p_{l - 2, 2} cos ((l - 4) \theta) + ... + p_{0, l} cos (l \theta) = (p_{l, 0} + p_{0, l}) cos (l \theta) + (p_{l - 1, 1} + p_{1, l - 1}) cos ((l - 2) \theta) + (p_{l - 2, 2} + p_{2, l - 2}) cos ((l - 4) \theta) + ...\)、ここで、最終項は、\(l\)が偶数である時は、\(p_{l / 2, l / 2} cos (0 \theta) = p_{l / 2, l / 2}\)、そして、\(l\)が奇数である時は、\((p_{(l + 1) / 2, (l - 1) / 2} + p_{(l - 1) / 2, (l + 1) / 2}) cos (\theta)\)。
サインたちとコサインたちで任意の互いに素な角速度たちを持つものたちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）に対して、もしも、それがコンスタントである場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題によって、\(p_{l, 0} + p_{0, l} = p_{l - 1, 1} + p_{l - 1, 1} = ... = p_{l / 2, l / 2} \text{ or } p_{(l + 1) / 2, (l - 1) / 2} + p_{(l - 1) / 2, (l + 1) / 2} = 0\): \(\{l, l - 2, ..., 0 \text{ or } 1\}\)は互いに素である、ここで、当該\(0\)項（もしも存在すれば）はコンスタントになる。
その虚部を見ると、\(p_{l, 0} sin (l \theta) + p_{l - 1, 1} sin ((l - 2) \theta) + p_{l - 2, 2} sin ((l - 4) \theta) + ... - p_{0, l} sin (l \theta) = (p_{l, 0} - p_{0, l}) sin (l \theta) + (p_{l - 1, 1} - p_{1, l - 1}) sin ((l - 2) \theta) + (p_{l - 2, 2} - p_{2, l - 2}) sin ((l - 4) \theta) + ...\)、ここで、その最終項は、\(l\)が偶数である時は、\(p_{l / 2, l / 2} sin (0 \theta) = 0\)で、\(l\)が奇数である時は、\((p_{(l + 1) / 2, (l - 1) / 2} - p_{(l - 1) / 2, (l + 1) / 2}) sin (\theta)\)。
同様に、\(p_{l, 0} - p_{0, l} = p_{l - 1, 1} - p_{l - 1, 1} = ... = 0 \text{ or } p_{(l + 1) / 2, (l - 1) / 2} - p_{(l - 1) / 2, (l + 1) / 2} = 0\)。
それが意味するのは、\(p_{l, 0} = p_{l - 1, 1} = ... p_{0, l} = 0\)。
それが各\((x_2, ..., x_n)\)に対して成立するので、\(p_{l, 0} = p_{l - 1, 1} = ... p_{0, l} \equiv 0\)、\((x_2, ..., x_n)\)に関して。
ステップ3:
各\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}} (x_2, \overline{x_2}, ..., x_n, \overline{x_n})\)は\((x_2, \overline{x_2}, ..., x_n, \overline{x_n})\)のポリノミアル（多項式）でコンスタントに\(0\)である。
\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}} (x_2, \overline{x_2}, ..., x_n, \overline{x_n}) = (\sum_{s_{2, i} + s_{2, c} = m - (s_{1, i} + s_{1, c})} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}} x_2^{s_{2, i}} {\overline{x_2}}^{s_{2, c}}) + ... + (\sum_{s_{2, i} + s_{2, c} = 0 - (s_{1, i} + s_{1, c})} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}} x_2^{s_{2, i}} {\overline{x_2}}^{s_{2, c}})\)、ここで、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}}\)は\(x_3, \overline{x_3}, ..., x_n, \overline{x_n}\)のポリノミアル（多項式）である: \(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}} := \sum_{s_{3, i} + s_{3, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = m - (s_{1, i} + s_{1, c} + s_{2, i} + s_{2, c})} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}, s_{3, i}, s_{3, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_3}^{s_{3, i}} {\overline{x_3}}^{s_{3, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}} + ... + \sum_{s_{3, i} + s_{3, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = 0 - (s_{1, i} + s_{1, c} + s_{2, i} + s_{2, c})} p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}, s_{3, i}, s_{3, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_3}^{s_{3, i}} {\overline{x_3}}^{s_{3, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}}\): 例えば、\(s_{1, i} + s_{1, c} + s_{2, i} + s_{2, c} = m\)である時は、\(\sum_{s_{3, i} + s_{3, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = m - (s_{1, i} + s_{1, c} + s_{2, i} + s_{2, c})}\)は\(s_{3, i} + s_{3, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = 0\)であるただ1個の項を持ち、\(\sum_{s_{3, i} + s_{3, c} + ... + s_{n, i} + s_{n, c} = 0 - (s_{1, i} + s_{1, c} + s_{2, i} + s_{2, c})}\)は\(0\)項を持つ。
\((x_3, ..., x_n)\)を任意の値で固定しよう。
すると、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}} (x_2, \overline{x_2}) := p_{s_{1, i}, s_{1, c}} (x_2, \overline{x_2}, ..., x_n, \overline{x_n})\)は、\((x_2, \overline{x_2})\)の\(\mathbb{C}\)上方のポリノミアル（多項式）である。
ステップ2に平行的なロジックによって、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}} \equiv 0\)、\((x_3, ..., x_n)\)に関してコンスタントに。
ステップ4:
等々と続く、結局、\((x_n, \overline{x_n})\)のポリノミアル（多項式）たちを考えるが、それらのコエフィシェント（係数）たちはコンスタントたちであり、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)である。
しかし、各\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}}\)はそれらコンスタントコエフィシェント（係数）たちの内の1つである、なぜなら、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_1}^{s_{1, i}} {\overline{x_1}}^{s_{1, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}}\)は、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}}\)の中へ\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_2}^{s_{2, i}} {\overline{x_2}}^{s_{2, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}}\)として入れられ、それは、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, s_{2, i}, s_{2, c}}\)の中へ\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} {x_3}^{s_{3, i}} {\overline{x_3}}^{s_{3, c}} ... {x_n}^{s_{n, i}} {\overline{x_n}}^{s_{n, c}}\)として入れられ、...、それは、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}}\)となる、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n - 1, i}, s_{n - 1, c}}\)のあるコンスタントコエフィシェント（係数）として。
したがって、\(p_{s_{1, i}, s_{1, c}, ..., s_{n, i}, s_{n, c}} = 0\)。
