ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよび原点のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、原点のオープンネイバーフッド（開近傍）でその2個のポイントたちの差は原点の第1のネイバーフッド（近傍）内に包含されているものを得る方法の記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよび原点のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、原点のオープンネイバーフッド（開近傍）でその2個のポイントたちの差は原点の第1のネイバーフッド（近傍）内に包含されているものを得る方法の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C} \}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(U_0\): \(\in \{0 \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明たち）:
\(\exists B_{0, \epsilon} \subseteq U_0 (\forall v_1, v_2 \in B_{0, \epsilon / 2} (v_1 - v_2 \in B_{0, \epsilon} \subseteq U_0))\)
\(\land\)
\(\exists C_{0, \epsilon} \subseteq U_0 (\forall v_1, v_2 \in C_{0, \epsilon / 2} (v_1 - v_2 \in C_{0, \epsilon} \subseteq U_0))\)、ここで、\(C_{0, \epsilon}\)および\(C_{0, \epsilon / 2}\)は当該オープンキューブ（開立方体）たち
//
2: 証明
全体戦略: \(V\)に、\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{R}^{2 d}\)上のメトリック（計量）に対応するメトリック（計量）を備えさせる; ステップ1: 以下を満たす任意の\(B_{0, \epsilon}\)、つまり、\(B_{0, \epsilon} \subseteq U_0\)、を取る; ステップ2: \(\forall v_1, v_2 \in B_{0, \epsilon / 2} (v_1 - v_2 \in B_{0, \epsilon} \subseteq U_0)\)であることを見る; ステップ3: 以下を満たす任意の\(C_{0, \epsilon}\)、つまり、\(C_{0, \epsilon} \subseteq U_0\)、を取る; ステップ4: \(\forall v_1, v_2 \in C_{0, \epsilon / 2} (v_1 - v_2 \in C_{0, \epsilon} \subseteq U_0)\)であることを見る。
ステップ1:
\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を\(V\)に対する任意のベーシス（基底）とし、\(f: V \to F^d, v = v^j b_j \mapsto (v^1, ..., v^d)\)とする。
\(V\)はユークリディアンまたはコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{C}^d\)に\(f\)によってホメオモーフィック（位相同形写像）なトポロジーを持つ。さらに、\(F = \mathbb{C}\)である時は、\(\mathbb{C}^d\)は\(\mathbb{R}^{2 d}\)へ\(g: \mathbb{C}^d \to \mathbb{R}^{2 d}, (v^1, ..., v^d) \mapsto (Re (v^1), Im (v^1), ..., Re (v^d), Im (v^d))\)によってホメオモーフィック（位相同形写像）であり、\(V\)はユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^{2 d}\)へ\(g \circ f\)によってホメオモーフィック（位相同形写像）なトポロジーを持つ。
当該ユークリディアントポロジーは、\(\mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{R}^{2 d}\)上のユークリディアンメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）である。
\(V\)に、対応するメトリック（計量）を備えさせる: \(dist (v_1 = {v_1}^j b_j, v_2 = {v_2}^j b_j) = dist (({v_1}^1, ..., {v_1}^d), ({v_2}^1, ..., {v_2}^d))\)または\(dist (v_1 = {v_1}^j b_j, v_2 = {v_2}^j b_j) = dist ((Re ({v_1}^1), Im ({v_1}^1), ..., Re ({v_1}^d), Im ({v_1}^d)), (Re ({v_2}^1), Im ({v_2}^1), ..., Re ({v_2}^d), Im ({v_2}^d))\)。
明らかに、\(V\)のトポロジーは当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）である。
\(0\)周りの以下を満たす任意のオープンボール（開球）\(B_{0, \epsilon}\)、つまり、\(B_{0, \epsilon} \subseteq U_0\)、を取ろう、それは存在する、なぜなら、当該トポロジーは当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）である。
ステップ2:
\(B_{0, \epsilon / 2}\)を取ろう。
\(v_1, v_2 \in B_{0, \epsilon / 2}\)を任意のものとしよう。
\(dist (v_1 - v_2, 0) = dist (v_1, v_2)\)、なぜなら、\(F = \mathbb{R}\)である時は、\(dist (v_1 - v_2, 0) = dist (({v_1}^1 - {v_2}^1, ..., {v_1}^d - {v_2}^d), (0, ..., 0)) = \sqrt{\sum_{j \in \{1, ...., d\}} ({v_1}^1 - {v_2}^1 - 0)^2} = \sqrt{\sum_{j \in \{1, ...., d\}} ({v_1}^1 - {v_2}^1)^2} = dist (({v_1}^1, ..., {v_1}^d), ({v_2}^1, ..., {v_2}^d)) = dist (v_1, v_2)\); \(F = \mathbb{C}\)である時は、\(dist (v_1 - v_2, 0) = dist ((Re ({v_1}^1 - {v_2}^1), Im ({v_1}^1 - {v_2}^1), ..., Re ({v_1}^d - {v_2}^d), Im ({v_1}^d - {v_2}^d)), (0, ..., 0)) = \sqrt{\sum_{j \in \{1, ...., d\}} ((Re ({v_1}^j) - Re ({v_2}^j) - 0)^2 + (Im ({v_1}^j) - Im ({v_2}^j) - 0)^2}) = \sqrt{\sum_{j \in \{1, ...., d\}} ((Re ({v_1}^j) - Re ({v_2}^j))^2 + (Im ({v_1}^j) - Im ({v_2}^j))^2}) = dist ((Re ({v_1}^1), Im ({v_1}^1), ..., Re ({v_1}^d), Im ({v_1}^d)), (Re ({v_2}^1), Im ({v_2}^1), ..., Re ({v_2}^d), Im ({v_2}^d))) = dist (v_1, v_2)\)。
\(dist (v_1, v_2) \le dist (v_1, 0) + dist (0, v_2) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
したがって、\(dist (v_1 - v_2, 0) \lt \epsilon\)。
したがって、\(v_1 - v_2 \in B_{0, \epsilon} \subseteq U_0\)。
ステップ3:
\(0\)周りの以下を満たす任意のオープンキューブ（開立方体）\(C_{0, \epsilon}\)、つまり、\(C_{0, \epsilon} \subseteq U_0\)、を取ろう、それは存在する、なぜなら当該トポロジーは当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）である: \(0\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{0, \delta}\)、つまり、\(B_{0, \delta} \subseteq U_0\)、があるところ、以下を満たす\(\epsilon := \sqrt{\delta^2 / d} \text{ or } \sqrt{\delta^2 / (2 d)}\)、つまり、\(d \epsilon^2 = \delta^2 \text{ or } 2 d \epsilon^2 = \delta^2\)、がある、それが意味するのは、\(C_{0, \epsilon} \subseteq B_{0, \delta} \subseteq U_0\)。
ステップ4:
\(C_{0, \epsilon / 2}\)を取ろう。
\(v_1 = {v_1}^j b_j, v_2 = {v_2}^j b_j \in C_{0, \epsilon / 2}\)を任意のものとしよう、それが意味するのは、\(\vert {v_1}^j \vert \lt \epsilon / 2 \text{ or } \vert Re ({v_1}^j) \vert \lt \epsilon / 2 \text{ and } \vert Im ({v_1}^j) \vert \lt \epsilon / 2\)および\(\vert {v_2}^j \vert \lt \epsilon / 2 \text{ or } \vert Re ({v_2}^j) \vert \lt \epsilon / 2 \text{ and } \vert Im ({v_2}^j) \vert \lt \epsilon / 2\)に他ならない。
\(v_1 - v_2 = {v_1}^j b_j - {v_2}^j b_j = ({v_1}^j - {v_2}^j) b_j\)。
しかし、\(\vert {v_1}^j - {v_2}^j \vert \le \vert {v_1}^j \vert + \vert {v_2}^j \vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)または\(\vert Re ({v_1}^j) - Re ({v_2}^j) \vert \le \vert Re ({v_1}^j) \vert + \vert Re ({v_2}^j) \vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)および\(\vert Im ({v_1}^j) - Im ({v_2}^j) \vert \le \vert Im ({v_1}^j) \vert + \vert Im ({v_2}^j) \vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(v_1 - v_2 \in C_{0, \epsilon} \subseteq U_0\)。
