リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、インナープロダクト（内積）を選ぶことができることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、あるインナープロダクト（内積）を選ぶことができるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \langle \bullet, \bullet \rangle: V \times V \to F \in \{V \text{ に対する全てのインナープロダクト（内積）たち }\}\)
//
2: 注
勿論、本命題において作られたインナープロダクト（内積）がユニークなオプションだというわけではない。
これは、ある事前決定されたノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）を選ぶという問題（それは、常に可能というわけではない）ではない。
3: 証明
全体戦略: あるインナープロダクト（内積）を示す; ステップ1: \(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(B = \{b_j\}\)を取る; ステップ2: \(\langle v' = 0 + \sum_{j \in J} v'^j b_j, v = 0 + \sum_{l \in L} v^l b_l \rangle\)を\(0 + \sum_{(j, l) \in J \times L} v'^j \overline{v^l} \delta_{j, l}\)として定義する; ステップ3: それはインナープロダクト（内積）であることを見る。
ステップ1:
\(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(B = \{b_j\}\)を取る、それは可能である、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題によって。
ステップ2:
各\(v, v' \in V\)に対して、\(v = 0 + \sum_{l \in L} v^l b_l\)および\(v' = 0 + \sum_{j \in J} v'^j b_j\)、それは、当該係数たちを非ゼロに制限したユニークな分解である、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって: "\(0 +\)"がそこにあるのは、\(J\)または\(L\)が空である時のため。
\(\langle v', v \rangle := 0 + \sum_{(j, l) \in J \times L} v'^j \overline{v^l} \delta_{j, l}\): "\(0 +\)"がそこにあるのは、\(J\)または\(L\)が空である時のため。
それはウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、当該分解たちはユニークである。
注意として、当該公式は、いくつかの係数たちがゼロであることを許された時でも妥当である、なぜなら、それらゼロ係数たちはゼロ項たちしか生成しない、そのことは、後に使われる。
ステップ3:
それは本当にインナープロダクト（内積）であることを見よう。
\(v_1, v_2, v_3 \in V\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものたちとしよう。
1) \((0 \le \langle v_1, v_1 \rangle)\) \(\land\) \((0 = \langle v_1, v_1 \rangle \iff v_1 = 0)\): \(\langle v_1, v_1 \rangle = 0 + \sum_{(j, l) \in J \times J} {v_1}^j \overline{{v_1}^l} \delta_{j, l} = 0 + \sum_{j \in J} \vert {v_1}^j \vert^2\)、したがって、\(0 \le \langle v_1, v_1 \rangle\); \(v_1 = 0\)だと仮定する、すると、\(\langle v_1, v_1 \rangle = 0 + \sum_{j \in J} \vert {v_1}^j \vert^2 = 0\)（実のところ、\(J = \emptyset\)）; \(0 + \sum_{j \in J} \vert {v_1}^j \vert^2 = 0\)であると仮定する、すると、\(J = \emptyset\)、それが意味するのは、\(v_1 = 0\)。
2) \(\langle v_1, v_2 \rangle = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\): \(\langle v_1, v_2 \rangle = 0 + \sum_{(j, l) \in J \times L} {v_1}^j \overline{{v_2}^l} \delta_{j, l} = 0 + \overline{\sum_{(j, l) \in J \times L} \overline{{v_1}^j} {v_2}^l \delta_{j, l}} = \overline{0 + \sum_{(l, j) \in L \times J} {v_2}^l \overline{{v_1}^j} \delta_{l, j}} = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)。
3) \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\): \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = \langle r_1 (0 + \sum_{j_1 \in J_1} {v_1}^{j_1} b_{j_1}) + r_2 (0 + \sum_{j_2 \in J_2} {v_2}^{j_2} b_{j_2}), 0 + \sum_{l \in L} {v_3}^l b_l \rangle\)、それは、\(\langle r_1 (0 + \sum_{j \in J} {v_1}^j b_j) + r_2 (0 + \sum_{j \in J} {v_2}^j b_j), 0 + \sum_{l \in L} {v_3}^l b_l \rangle\)と表現できる、ここで、\(J := J_1 \cup J_2\)、いくつかの係数たちがゼロであり得るとして、\(= \langle 0 + \sum_{j \in J} r_1 {v_1}^j b_j + 0 + \sum_{j \in J} r_2 {v_2}^j b_j, 0 + \sum_{l \in L} {v_3}^l b_l \rangle = \langle 0 + \sum_{j \in J} (r_1 {v_1}^j + r_2 {v_2}^j) b_j, 0 + \sum_{l \in L} {v_3}^l b_l \rangle = 0 + \sum_{(j, l) \in J \times L} (r_1 {v_1}^j + r_2 {v_2}^j) \overline{{v_3}^l} \delta_{j, l} = 0 + \sum_{(j, l) \in J \times L} (r_1 {v_1}^j \overline{{v_3}^l} \delta_{j, l} + r_2 {v_2}^j \overline{{v_3}^l} \delta_{j, l}) = 0 + \sum_{(j, l) \in J \times L} (r_1 {v_1}^j \overline{{v_3}^l} \delta_{j, l}) + 0 + \sum_{(j, l) \in J \times L} (r_2 {v_2}^j \overline{v^l} \delta_{j, l}) = 0 + r_1 \sum_{(j, l) \in J \times L} ({v_1}^j \overline{{v_3}^l} \delta_{j, l}) + 0 + r_2 \sum_{(j, l) \in J \times L} ({v_2}^j \overline{v^l} \delta_{j, l}) = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\)。
したがって、それはインナープロダクト（内積）である。
