2025年10月12日日曜日

1356: 同一フィールド(体)上方のベクトルたちスペース(空間)たちは'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィック(同形写像)である、もしも、それらが同一ディメンション(次元)を持つ場合、そしてその場合に限って

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同一フィールド(体)上方のベクトルたちスペース(空間)たちは'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィック(同形写像)である、もしも、それらが同一ディメンション(次元)を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の同一フィールド(体)上方の任意のベクトルたちスペース(空間)たちは'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィック(同形写像)である、もしも、それらが任意の同一ディメンション(次元)を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド(体)たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース(空間)たち }\}\)で、任意のベーシス(基底)\(B_1 = \{b_{1, j} \vert j \in J_1\}\)を持つもの、ここで、\(J_1\)はアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのthe } F \text{ ベクトルたちスペース(空間)たち }\}\)で、任意のベーシス(基底)\(B_2 = \{b_{2, j} \vert j \in J_2\}\)を持つもの、ここで、\(J_2\)はアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)
//

ステートメント(言明)たち:
\(V_1 \cong_{\text{ ベクトルたちスペース(空間)たち }} V_2\)
\(\iff\)
\(B_1 \cong_{\text{ セット(集合)たち }} B_2\)
//

\(V_1\)および\(V_2\)はインフィニット(無限)-ディメンショナル(次元)である時は、"同一ディメンション(次元)を持つ"は、\(B_1 \cong_{\text{ sets }} B_2\)を意味する。


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \(B_1 \cong_{\text{ sets }} B_2\)であると仮定する; ステップ2: 任意のバイジェクション(全単射)\(f: B_1 \to B_2\)を取り、\(f': V_1 \to V_2\)を\(f\)のリニアエクスパンション(線形拡張)として取り、\(f'\)は'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)であることを見る; ステップ3: \(V_1 \cong_{\text{ vectors spaces }} V_2\)であると仮定する; ステップ4: 任意の'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)\(f' : V_1 \to V_2\)を取り、\(f'\)は\(B_1\)をベーシス(基底)\(f' (B_1)\)へバイジェクティブ(全単射)にマップすることを見る; ステップ5: あるバイジェクション(全単射)\(g: f' (B_1) \to B_2\)があることを見る; ステップ6: \(g \circ f' \vert_{B_1}: B_1 \to B_2\)はバイジェクション(全単射)であることを見る。

ステップ1:

\(B_1 \cong_{\text{ sets }} B_2\)であると仮定しよう。

ステップ2:

任意のバイジェクション(全単射)\(f: B_1 \to B_2\)を取ろう。

\(f': V_1 \to V_2\)を、\(f\)のリニアエクスパンション(線形拡張)として取ろう。

\(f'\)はウェルデファインド(妥当に定義された)であり、'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)である、任意のベクトルたちスペース(空間)間において、任意のベーシス(基底)を任意のベーシス(基底)の上へバイジェクティブ(全単射)にマップし当該マッピングをリニア(線形)に拡張する任意のマップ(写像)は'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)であるという命題によって。

したがって、\(V_1 \cong_{\text{ vectors spaces }} V_2\)。

ステップ3:

\(V_1 \cong_{\text{ vectors spaces }} V_2\)であると仮定しよう。

ステップ4:

任意の'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)\(f': V_1 \to V_2\)を取ろう。

\(f'\)は\(B_1\)をベーシス(基底)\(f' (B_1)\)へバイジェクティブ(全単射)にマップする、任意の'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)は、任意のベーシス(基底)をあるベーシス(基底)の上へバイジェクティブ(全単射)にマップし当該マッピングをリニア(線形)に拡張するマップ(写像)であるという命題によって。

ステップ5:

\(f' (B_1)\)と\(B_2\)は同一カーディナリティ(濃度)を持つ、任意のベクトルたちスペース(空間)に対して、全てのベーシス(基底)たちは同一カーディナリティを持つという命題によって。

それが意味するのは、あるバイジェクション(全単射)\(g: f' (B_1) \to B_2\)があるということ。

ステップ6:

\(f := g \circ f' \vert_{B_1}: B_1 \to B_2\)は、バイジェクション(全単射)たちのコンポジション(合成)としてバイジェクション(全単射)である、バイジェクション(全単射)たちの任意のファイナイト(有限)コンポジション(合成)はバイジェクション(全単射)である、もしも、構成要素バイジェクション(全単射)たちのコドメイン(余域)たちが、引き続くバイジェクション(全単射)たちのドメイン(定義域)たちに等しい場合、という命題によって。


参考資料


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