ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、プロジェクション（射影）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、各プロジェクション（射影）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_1 \times ... \times M_n\): \(= \text{ 当該プロダクト } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\(\pi_j\): \(: M_1 \times ... \times M_n \to M_j\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\pi_j \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m = (m^1, ..., m^n) \in M_1 \times ... \times M_n\)に対して、あるチャート\((U_{1, m^1} \times ... \times U_{n, m^n} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, (f \text{ or } g) \circ \phi_{1, m^1} \times ... \times \phi_{n, m^n})\)および当該チャート\((U_{j, m^j} \subseteq M_j, \phi_{j, m^j})\)を取る; ステップ2: \(\phi_{j, m^j} \circ \pi_j \circ ((f \text{ or } g) \circ \phi_{1, m^1} \times ... \times \phi_{n, m^n})^{-1}\)は\(C^\infty\)であることを見る。
ステップ1:
\(m = (m^1, ..., m^n) \in M_1 \times ... \times M_n\)を任意のものとしよう。
\(f: \mathbb{R}^{d_1} \times ... \times \mathbb{R}^{d_n} \to \mathbb{R}^{d_1 + ... + d_n}\)および\(g: \mathbb{R}^{d_1} \times ... \times \mathbb{R}^{d_{n - 1}} \times \mathbb{H}^{d_n} \to \mathbb{H}^{d_1 + ... + d_n}\)をカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）たちとしよう。
あるチャート\((U_{1, m^1} \times ... \times U_{n, m^n} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, (f \text{ or } g) \circ \phi_{1, m^1} \times ... \times \phi_{n, m^n})\)および当該チャート\((U_{j, m^j} \subseteq M_j, \phi_{j, m^j})\)がある、ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
ステップ2:
\(\pi_j (U_{1, m^1} \times ... \times U_{n, m^n}) \subseteq U_{j, m^j}\)。
\(\phi_{j, m^j} \circ \pi_j \circ ((f \text{ or } g) \circ \phi_{1, m^1} \times ... \times \phi_{n, m^n})^{-1}: (f \text{ or } g) \circ \phi_{1, m^1} \times ... \times \phi_{n, m^n} (U_{1, m^1} \times ... \times U_{n, m^n}) \subseteq \mathbb{R}^{d_1 + ... + d_n} \text{ or } \mathbb{H}^{d_1 + ... + d_n} \to \phi_{j, m^j} (U_{j, m^j}) \subseteq \mathbb{R}^{d_j} \text{ or } \mathbb{H}^{d_j}\)、ここで、\(j \lt n\)である時は、\(\mathbb{R}^{d_j}\)で\(j = n\)である時は、\(\mathbb{H}^{d_j}\)、は\(C^\infty\)であることを見よう。
それは、\((f \text{ or } g) (\phi_{1, m^1} (m'^1), ..., \phi_{n, m^n} (m'^n)) = (\phi_{1, m^1}^1 (m'^1), ..., \phi_{1, m^1}^{d_1} (m'^1), ..., \phi_{n, m^n}^1 (m'^n), ..., \phi_{n, m^n}^{d_n} (m'^n)) \mapsto (\phi_{j, m^j}^1 (m'^j), ..., \phi_{j, m^j}^{d_j} (m'^j))\)。
それは、明らかに\(C^\infty\)である。
したがって、\(\pi_j\)は\(C^\infty\)である。
