2025年10月12日日曜日

1360: トポロジカルスペース(空間)たち間コンティニュアス(連続)マップ(写像)に対して、コネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)のイメージ(像)はコネクテッド(連結された)である

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トポロジカルスペース(空間)たち間コンティニュアス(連続)マップ(写像)に対して、コネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)のイメージ(像)はコネクテッド(連結された)であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)たち間任意のコンティニュアス(連続)マップ(写像)に対して、任意のコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)のイメージ(像)はコネクテッド(連結された)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(T'_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(T'_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(f'\): \(: T'_1 \to T'_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス(連続)マップ(写像)たち }\}\)
\(T_1\): \(\in \{T'_1 \text{ の全てのコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(f' (T_1) \in \{T'_2 \text{ の全てのコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たち }\}\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: ドメイン(定義域)およびコドメイン(余域)リストリクション(制限)\(f: T_1 \to f' (T_1)\)はコンティニュアス(連続)であることを見る; ステップ2: \(f' (T_1)\)はコネクテッド(連結された)でなかったと仮定し、\(T_1\)はコネクテッド(連結された)でなかったことになることを見る。

ステップ1:

\(f'\)のドメイン(定義域)およびコドメイン(余域)リストリクション(制限)\(f: T_1 \to f' (T_1), t \mapsto f' (t)\)のことを考えよう。

\(f\)はコンティニュアス(連続)である、任意のコンティヌアス(連続)マップ(写像)の、ドメイン(定義域)およびコドメイン(余域)についてのリストリクション(制限)はコンティヌアス(連続)であるという命題によって。

ステップ2:

\(f' (T_1)\)は、\(T'_2\)のサブスペース(部分空間)としてコネクテッド(連結された)でなかったと仮定しよう。

\(f' (T_1) = U_1 \cup U_2\)、ここで、\(U_1, U_2 \subseteq f' (T_1)\)は、\(f' (T_1)\)の非空オープンサブセット(開部分集合)たちで\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)を満たすものたちである。

\(f^{-1} (f' (T_1)) = T_1\)、任意のマップ(写像)のコドメイン(余域)全体のプリイメージ(前像)はドメイン(定義域)全体であるという命題によって。

\(f^{-1} (f' (T_1)) = f^{-1} (U_1 \cup U_2) = f^{-1} (U_1) \cup f^{-1} (U_2)\)、任意のマップ(写像)に対して、任意の、セット(集合)たちのユニオン(和集合)、のマップ(写像)プリイメージ(前像)は、それらセット(集合)たちのマップ(写像)プリイメージ(前像)たちのユニオン(和集合)であるという命題によって。

したがって、\(T_1 = f^{-1} (U_1) \cup f^{-1} (U_2)\)。

\(f^{-1} (U_1)\)および\(f^{-1} (U_2)\)は\(T_1\)上でオープン(開)だということになる、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス(連続)であった。

\(f^{-1} (U_1) \neq \emptyset\)、なぜなら、\(U_1 \neq \emptyset\)、その一方で、\(U_1 \subseteq f' (T_1) = f (T_1)\)、したがって、ある\(f (t) \in U_1\)があることになり、\(t \in f^{-1} (U_1)\); \(f^{-1} (U_2) \neq \emptyset\)、同様に。

\(f^{-1} (U_1) \cap f^{-1} (U_2) = \emptyset\)、任意のディスジョイント(互いに素な)サブセット(部分集合)たちの任意のマップ(写像)下のプリイメージ(前像)たちはディスジョイント(互いに素)であるという命題によって。

したがって、\(T_1\)はコネクテッド(連結された)でないことになる、矛盾。

したがって、\(f' (T_1)\)はコネクテッド(連結された)である、\(T'_2\)のサブスペース(部分空間)として。


参考資料


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