インフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）の "デュアル"は、必ずしもノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）ではないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるインフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）の "デュアル"は、必ずしも当該ノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルムを持つもの
\(V^*\): \(= V \text{ の当該ノルム付きコベクトルたちスペース（空間） }\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
\(B^*\): \(= \{b^j \vert j \in J\}\)で、\(\forall j \in J (\forall l \in J (b^j (b_l) = \delta^j_l))\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、\(B^* \in \{V^* \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 注
これは、\(B^*\)は決してベーシス（基底）ではないとは主張していない。
任意のインフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）の "デュアル"は、当該コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）では決してないという命題と比較のこと: それの証明は、\(B^*\)によってスパン（張る）されないあるコベクトルを示した、しかし、課題は、当該コベクトルがバウンデッド（有界）であるか否かである。
本記事は、"デュアル"という表現を二重引用符付きで使用する、なぜなら、\(B^*\)は通常"デュアル"とは呼ばれない、それがデュアルベーシス（基底）ではない時には。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)は絶対コンポーネントたちの合計を取るノルムを持つと仮定する; ステップ2: \(B^*\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ3: \(w \in V^*\)を、各\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}\)に対して、\(w (v) = v^{j_1} + ... + v^{j_n}\)であると取り、\(w\)はバウンデッド（有界）であるが\(B^*\)によってスパン（張る）されないことを見る。
ステップ1:
\(V\)は\(B\)に関する絶対コンポーネントたちの合計を取るノルムを持つと仮定しよう、それは可能である、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムであるという命題によって: 本命題は、少なくともそのノルムに関して\(B^*\)はベーシス（基底）ではないというものである。
ステップ2:
\(B^*\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n} \in V\)を任意のものとしよう、それは、非ゼロコンポーネントたちを持つとしてのユニーク分解である、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
\(b^j (v) = b^j (v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}) = v^{j_1} b^j (b_{j_1}) + ... + v^{j_n} b^j (b_{j_n}) = v^{j_1} \delta^j_{j_1} + ... + v^{j_n} \delta^j_{j_n}\)、ユニークに決定されて。
\(b^j\)はリニア（線形）である、なぜなら、各\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}, v' = v'^{l_1} b_{l_1} + ... + v'^{l_m} b_{l_m} \in V\)および各\(r, r' \in F\)に対して、\(b_j\)が\(v\)にも\(v'\)にも含まれていない時は、\(b^j (r v + r' v') = 0 = 0 + 0 = r b^j (v) + r' b^j (v')\); \(b_j\)が\(v\)にのみ\(b_{j_p}\)として含まれている時は、\(b^j (r v + r' v') = r v^{j_p} = r v^{j_p} + 0 = r b^j (v) + r' b^j (v')\); \(b_j\)が\(v'\)にのみ\(b_{l_q}\)として含まれている時は、\(b^j (r v + r' v') = r' v'^{l_q} = 0 + r' v'^{l_q} = r b^j (v) + r' b^j (v')\); \(b_j\)が\(v\)に\(b_{j_p}\)として\(v'\)に\(b_{l_q}\)として両方に含まれている時は、\(b^j (r v + r' v') = r v^{j_p} + r' v^{l_q} = r b^j (v) + r' b^j (v')\)。
\(b^j\)はバウンデッド（有界）であることを見よう。
\(sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert b^j (v) \vert / \Vert v \Vert\)のことを考えよう。
\(v = v^1 b_{j_1} + ... v^m b_{j_m}\)であるから、\(\vert b^j (v) \vert / \Vert v \Vert = \vert b^j (v^1 b_{j_1} + ... v^m b_{j_m}) \vert / \Vert v^1 b_{j_1} + ... v^m b_{j_m} \Vert\)。
\(j \notin \{j_1, ..., j_m\}\)である時、それは\(0\)である。
\(j \in \{j_1, ..., j_m\}\)、\(j = j_l\)として、である時、それは\(\vert v^l \vert / \Vert v^1 b_{j_1} + ... + v^m b_{j_m} \Vert\)、しかし、\(\Vert v^1 b_{j_1} + ... + v^m b_{j_m} \Vert = \vert v^1 \vert + ... + \vert v^m \vert\)、私たちのノルム選択によって、したがって、\(\vert b^j (v) \vert / \Vert v \Vert = \vert v^l \vert / (\vert v^1 \vert + ... + \vert v^m \vert) \le 1\)。
したがって、\(sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert b^j (v) \vert / \Vert v \Vert \le 1\)、それが意味するのは、\(b^j\)はバウンデッド（有界）であるということ。
したがって、\(b^j \in V^*\)。
ステップ3:
\(w \in V^*\)を、各\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}\)に対して、\(w (v) = v^{j_1} + ... + v^{j_n}\)であるものと取ろう。
\(w\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、当該分解は、非ゼロコンポーネントたちを持つとしてユニークである、前と同様。
\(w\)は本当にリニア（線形）であることを見よう（これは、任意のインフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）の "デュアル"は、当該コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）では決してないという命題内の"証明")内でのものと厳密に同じである）。
\(v = v^{k_1} b_{k_1} + ... + v^{k_m} b_{k_m}, v' = v'^{l_1} b_{l_1} + ... + v'^{l_n} b_{l_n} \in V\)および\(r, r' \in F\)を任意のものたちとしよう。
\(K := \{k_1, ..., k_m\}\)および\(L := \{l_1, ..., l_n\}\)としよう。
\(K \cap L\)は空であるかもしれないし非空であるかもしれないが、いずれにせよ、\(v = \sum_{k \in K \setminus L} v^k b_k + \sum_{k \in K \cap L} v^k b_k\)および\(v' = \sum_{l \in L \setminus K} v^l b_l + \sum_{k \in K \cap L} v^k b_k\)。
\(r v + r' v' = r (\sum_{k \in K \setminus L} v^k b_k + \sum_{k \in K \cap L} v^k b_k) + r' (\sum_{l \in L \setminus K} v'^l b_l + \sum_{k \in K \cap L} v'^k b_k) = r \sum_{k \in K \setminus L} v^k b_k + r' \sum_{l \in L \setminus K} v'^l b_l + \sum_{k \in K \cap L} (r v^k + r' v'^k) b_k\)。
したがって、\(w (r v + r' v') = r \sum_{k \in K \setminus L} v^k + r' \sum_{l \in L \setminus K} v'^l + \sum_{k \in K \cap L} (r v^k + r' v'^k) = r \sum_{k \in K \setminus L} v^k + \sum_{k \in K \cap L} r v^k + r' \sum_{l \in L \setminus K} v'^l + \sum_{k \in K \cap L} r' v'^k = r (\sum_{k \in K \setminus L} v^k + \sum_{k \in K \cap L} v^k) + r' (\sum_{l \in L \setminus K} v'^l + \sum_{k \in K \cap L} v'^k) = r \sum_{k \in K} v^k + r' \sum_{l \in L} v'^l = r w (v) + r' w (v')\)。
\(w\)はバウンデッド（有界）であることを見よう。
\(sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert w (v) \vert / \Vert v \Vert\)のことを考えよう。
\(v = v^1 b_{j_1} + ... + v^m b_{j_m}\)であるから、\(\vert w (v) \vert / \Vert v \Vert = \vert w (v^1 b_{j_1} + ... + v^m b_{j_m}) \vert / \Vert v^1 b_{j_1} + ... + v^m b_{j_m} \Vert = \vert v^1 + ... + v^m \vert / (\vert v^1 \vert + ... + \vert v^m \vert) \le (\vert v^1 \vert + ... + \vert v^m \vert) / (\vert v^1 \vert + ... + \vert v^m \vert) = 1\)。
したがって、\(sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert w (v) \vert / \Vert v \Vert \le 1\)、それが意味するのは、\(w\)はバウンデッド（有界）であること。
したがって、\(w \in V^*\)。
しかし、\(w\)は\(B^*\)によってスパン（張る）されない、なぜなら、\(w = w^1 b^{j_1} + ... + w^m b^{j_m}\)であると仮定して、ある\(b^l \in B^* \setminus \{b^{j_1}, ..., b^{j_m}\}\)がある、すると、\(w (b_l) = 1\)、しかし、\((w^1 b^{j_1} + ... + w^m b^{j_m}) (b_l) = 0 + ... + 0 = 0\)、矛盾。
したがって、\(w\)は\(B^*\)によってスパン（張る）されない。
したがって、\(B^*\)はベーシス（基底）ではない。
