2025年10月12日日曜日

1361: \(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、はローカルにコネクテッド(連結された)である

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\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、はローカルにコネクテッド(連結された)であることの記述/証明

話題


About: \(C^\infty\)マニフォールド(多様体)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、はローカルにコネクテッド(連結された)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(M \in \{\text{ 全てのローカルにコネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: 各\(m \in M\)および\(m\)の各ネイバーフッド(近傍)\(N_m\)に対して、\(m\)周りの以下を満たすあるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(U_m \subseteq N_m\)、を取る; ステップ2: \(\phi_m (m)\)周りのあるオープンボール(開球)\(B_{\phi_m (m), \epsilon} \subseteq \phi_m (U_m)\)を取り、\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon}) \subseteq N_m\)は\(m\)のコネクテッド(連結された)ネイバーフッド(近傍)であることを見る。

ステップ1:

\(m \in M\)を任意のものとしよう。

\(N_m \subseteq M\)を\(m\)の任意のネイバーフッド(近傍)としよう。

\(m\)周りのあるチャート\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)がある。

\(m\)周りの以下を満たすあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U''_m \subseteq M\)、つまり、\(U''_m \subseteq N_m\)、がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントのネイバーフッド(近傍)の定義によって。

\(U_m := U'_m \cap U''_m \subseteq M\)および\(\phi_m := \phi'_m \vert_{U_m}\)としよう。

\(U_m\)は\(M\)のオープンサブセット(開部分集合)であり、\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)は、\(m\)周りの以下を満たすチャート、つまり、\(U_m \subseteq N_m\)、である、明らかに。

ステップ2:

\(\phi_m (U_m) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_m (m)\)の\(\mathbb{R}^d\)(ユークリディアントポロジーを持つ)のオープンネイバーフッド(開近傍)である。

\(\phi_m (m)\)周りの以下を満たすあるオープンボール(開球)\(B_{\phi_m (m), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{\phi_m (m), \epsilon} \subseteq \phi_m (U_m)\)、がある、それは、ユークリディアントポロジーのプロパティである。

\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon}) \subseteq U_m\)は\(U_m\)上でオープン(開)である、なぜなら、\(\phi_m\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である。

\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon})\)は\(M\)上でオープン(開)である、任意のオープン(開)トポロジカルサブスペース(部分空間)上の任意のオープンセット(開集合)はベーススペース(空間)上でオープン(開)であるという命題によって。

したがって、\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon})\)は\(m\)の\(M\)上におけるオープンネイバーフッド(開近傍)である。

\(B_{\phi_m (m), \epsilon}\)は\(\phi_m (U_m)\)のコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)であるから、\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon})\)は\(U_m\)のコネクテッドサブスペース(部分空間)である、任意のトポロジカルスペース(空間)たち間任意のコンティニュアス(連続)マップ(写像)に対して、任意のコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)のイメージ(像)はコネクテッド(連結された)であるという命題によって。

トポロジカルサブスペース(部分空間)たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース(部分空間)のコネクテッド(連結された)性は、当該サブスペース(部分空間)がサブスペース(部分空間)であるとみなされる元のスーパースペース(空間)に依存しないという命題によって、\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon})\)は\(M\)のコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)である。

したがって、\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon})\)は、\(m\)の\(M\)上におけるコネクテッド(連結された)オープンネイバーフッド(開近傍)である。

\(\phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), \epsilon}) \subseteq U_m \subseteq N_m\)。

したがって、\(M\)はローカルにコネクテッド(連結された)である。


参考資料


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