トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(s\): \(: J \to \{g: T_1 \to T_2\}\), \(\in \{\text{ 全てのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(= s \text{ のコンバージェンス（収束マップ（写像）） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (s (j) \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\})\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
実のところ、\(s (j)\)たちの内の何らか有限数のものたちはコンティニュアス（連続）である必要はない、なぜなら、それらは\(f\)に影響しない: 私たちは、それら非コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちを除外した別のシーケンス（列）を取ることができ、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））は明らかに\(f\)である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t, t' \in T_1\)および各\(j \in J\)に対して、\(dist (f (t'), f (t)) \le dist (f (t'), s (j) (t')) + dist (s (j) (t'), s (j) (t)) + dist (s (j) (t), f (t))\); ステップ2: 以下を満たす\(N\)、つまり、各\(N \lt j\)に対して、各\(t'' \in T_1\)に対して、\(dist (s (j) (t''), f (t'')) \lt \epsilon / 3\)、を取り、任意の固定したそうした\(j\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{j, t}\)、つまり、\(s (j) (U_{j, t}) \subseteq B_{s (j) (t), \epsilon / 3}\)、を取る。
ステップ1:
\(t, t' \in T_1\)を任意のものとし、\(j \in J\)を任意のものとしよう。
\(dist (f (t'), f (t)) \le dist (f (t'), s (j) (t')) + dist (s (j) (t'), s (j) (t)) + dist (s (j) (t), f (t))\)。
ステップ2:
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、各\(t'' \in T_1\)に対して、\(dist (s (j) (t''), f (t'')) \lt \epsilon / 3\)、がある。
そうした任意の\(j\)を取ろう。
\(B_{s (j) (t), \epsilon / 3}\)を、\(s (j) (t)\)周りの\(\epsilon / 3\)-'オープンボール（開近傍）'としよう。
\(s (j)\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{j, t} \subseteq T_1\)、つまり、\(s (j) (U_{j, t}) \subseteq B_{s (j) (t), \epsilon / 3}\)、がある。
各\(u \in U_{j, t}\)に対して、ステップ1によって、\(dist (f (u), f (t)) \le dist (f (u), s (j) (u)) + dist (s (j) (u), s (j) (t)) + dist (s (j) (t), f (t)) \lt \epsilon / 3 + \epsilon / 3 + \epsilon / 3 = \epsilon\)。
したがって、\(f (U_{j, t}) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)。
\(f (t)\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (t)} \subseteq T_2\)に対して、\(f (t)\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{f (t), \epsilon} \subseteq T_2\)、つまり、\(B_{f (t), \epsilon} \subseteq U_{f (t)}\)、があり、以下を満たすある対応する\(U_{j, t}\)、つまり、\(f (U_{j, t}) \subseteq B_{f (t), \epsilon} \subseteq U_{f (t)}\)、がある。
したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
