同一トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのファイナイト（有限）数のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、最大または最小マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのファイナイト（有限）数の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、最大または最小マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: T \to \mathbb{R} \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(max (\{f_1, ..., f_n\})\): \(: T \to \mathbb{R}, t \mapsto max \{f_1 (t), ..., f_n (t)\}\)
\(min (\{f_1, ..., f_n\})\): \(: T \to \mathbb{R}, t \mapsto min \{f_1 (t), ..., f_n (t)\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(max (\{f_1, ..., f_n\}) \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(min (\{f_1, ..., f_n\}) \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(max (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = max (\{max (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)であることを見る; ステップ2: \(max (\{f_1, f_2\})\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: \(max (\{f_1, ..., f_n\})\)に対する本命題を結論する、インダクションプリンシプル（数学的帰納法）によって; ステップ4: \(min (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = min (\{min (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)であることを見る; ステップ5: \(min (\{f_1, f_2\})\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: \(min (\{f_1, ..., f_n\})\)に対する本命題を結論する、インダクションプリンシプル（数学的帰納法）によって。
ステップ1:
\(max (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = max (\{max (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)であることを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(max (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) (t) = max (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\})\)。
\(max (\{max (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\}) (t) = max (\{max (\{f_1, ..., f_n\}) (t), f_{n + 1} (t)\}) = max (\{max (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\})\)。
しかし、\(max (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}) = max (\{max (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\})\)、なぜなら、\(f_{n + 1} (t)\)が\(\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}\)間で最大である時は、\(max (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}) = f_{n + 1} (t)\)、ところで、\(\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}\)間の最大が何であれ、\(max (\{max (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\}) = f_{n + 1} (t)\); \(f_{j} (t)\)、ここで、\(j \lt n + 1\)、が\(\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}\)間の最大である時は、\(max (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}) = f_{j} (t)\)、ところで、\(max (\{max (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\}) = max (\{f_j (t), f_{n + 1} (t)\}) = f_j (t)\)。
したがって、\(max (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = max (\{max (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)。
ステップ2:
\(max (\{f_1, f_2\})\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(max (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)\)であることを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(f_1 (t) \le f_2 (t)\)または\(f_2 (t) \lt f_1 (t)\)。
\(f_1 (t) \le f_2 (t)\)であると仮定しよう。
\(max (\{f_1, f_2\}) (t) = max (\{f_1 (t), f_2 (t)\}) = f_2 (t)\)、その一方で、\((1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)) (t) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) + \vert f_1 (t) - f_2 (t) \vert) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) + f_2 (t) - f_1 (t)) = 1 / 2 (2 f_2 (t)) = f_2 (t)\)。
\(f_2 (t) \lt f_1 (t)\)であると仮定しよう。
\(max (\{f_1, f_2\}) (t) = max (\{f_1 (t), f_2 (t)\}) = f_1 (t)\)、その一方で、\((1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)) (t) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) + \vert f_1 (t) - f_2 (t) \vert) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) + f_1 (t) - f_2 (t)) = 1 / 2 (2 f_1 (t)) = f_1 (t)\)。
したがって、\(max (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)\)。
\(f_1 - f_2\)はコンティニュアス（連続）である、よく知られている事実として、そして、\(\vert f_1 - f_2 \vert\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
すると、\(1 / 2 (f_1 + f_2 + \vert f_1 - f_2 \vert)\)はコンティニュアス（連続）である、よく知られている事実として。
ステップ3:
本命題をインダクションプリンシプル（数学的帰納法）によって証明しよう。
\(n = 2\)である時、\(max (\{f_1, ..., f_n\})\)はコンティニュアス（連続）である、ステップ2によって。
任意の\(n\)に対して、\(max (\{f_1, ..., f_n\})\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ1によって、\(max (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = max (\{max (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)、それは、ステップ2によってコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(max (\{f_1, ..., f_n\})\)は、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対してコンティニュアス（連続）である。
ステップ4:
\(min (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = min (\{min (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)であることを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(min (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) (t) = min (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\})\)。
\(min (\{min (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\}) (t) = min (\{min (\{f_1, ..., f_n\}) (t), f_{n + 1} (t)\}) = min (\{min (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\})\)。
しかし、\(min (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}) = min (\{min (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\})\)、なぜなら、\(f_{n + 1} (t)\)が\(\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}\)間の最小である時、\(min (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}) = f_{n + 1} (t)\)、ところで、\(\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}\)間の最小が何であれ、\(min (\{min (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\}) = f_{n + 1} (t)\); \(f_{j} (t)\)、ここで、\(j \lt n + 1\)、が\(\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}\)間の最小である時、\(min (\{f_1 (t), ..., f_{n + 1} (t)\}) = f_{j} (t)\)、ところで、\(min (\{min (\{f_1 (t), ..., f_n (t)\}), f_{n + 1} (t)\}) = min (\{f_j (t), f_{n + 1} (t)\}) = f_j (t)\)。
したがって、\(min (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = min (\{min (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)。
ステップ5:
\(min (\{f_1, f_2\})\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(min (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)\)であることを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(f_1 (t) \le f_2 (t)\)または\(f_2 (t) \lt f_1 (t)\)。
\(f_1 (t) \le f_2 (t)\)であると仮定しよう。
\(min (\{f_1, f_2\}) (t) = min (\{f_1 (t), f_2 (t)\}) = f_1 (t)\)、その一方で、\((1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)) (t) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) - \vert f_1 (t) - f_2 (t) \vert) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) - (f_2 (t) - f_1 (t))) = 1 / 2 (2 f_1 (t)) = f_1 (t)\)。
\(f_2 (t) \lt f_1 (t)\)であると仮定しよう。
\(min (\{f_1, f_2\}) (t) = min (\{f_1 (t), f_2 (t)\}) = f_2 (t)\)、その一方で、\((1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)) (t) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) - \vert f_1 (t) - f_2 (t) \vert) = 1 / 2 (f_1 (t) + f_2 (t) - (f_1 (t) - f_2 (t))) = 1 / 2 (2 f_2 (t)) = f_2 (t)\)。
したがって、\(min (\{f_1, f_2\}) = 1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)\)。
\(f_1 - f_2\)はコンティニュアス（連続）である、よく知られている事実として、そして、\(\vert f_1 - f_2 \vert\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
すると、\(1 / 2 (f_1 + f_2 - \vert f_1 - f_2 \vert)\)はコンティニュアス（連続）である、よく知られている事実として。
ステップ6:
本命題をインダクションプリンシプル（数学的帰納法）によって証明しよう。
\(n = 2\)である時、\(min (\{f_1, ..., f_n\})\)はコンティニュアス（連続）である、ステップ5によって。
任意の\(n\)に対して、\(min (\{f_1, ..., f_n\})\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
ステップ4によって、\(min (\{f_1, ..., f_{n + 1}\}) = min (\{min (\{f_1, ..., f_n\}), f_{n + 1}\})\)、それは、ステップ5によってコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(min (\{f_1, ..., f_n\})\)は、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対してコンティニュアス（連続）である。
