モジュール（加群）、ファイナイト（有限）数サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサムとして、の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちの合計の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）、ファイナイト（有限）数サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサムとして、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(*M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\( \{M_1, ..., M_n\}\): \(\subseteq \{M \text{ の全てのサブモジュール（部分加群）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall M_j \in \{M_1, ..., M_n\} (M_j \cap (M_1 + ... + M_{j - 1} + \widehat{M_j} + M_{j + 1} + ... + M_n) = \{0\})\)
\(\land\)
\(M = M_1 + ... + M_n\)
//
2: 注
本名称は、"モジュール（加群）、ファイナイト（有限）数サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサムとして"である、単に"ファイナイト（有限）数サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサム"ではなくて、なぜなら、このダイレクトサムは新たなモジュール（加群）を作成するのではなく、既存のモジュール（加群）をダイレクトサムとして判定するというものである。
本定義を'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'と混同しないように（それらはほとんどあまねく混同されるのだが）、後者は、構成要素モジュール（加群）たちから新たなモジュール（加群）を作成するというものである。当該サブモジュール（部分加群）たちに対して、当該サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサムは厳密には構成要素モジュール（加群）たちの本定義によるダイレクトサムではない: \(M_1 \oplus M_2\)の任意の要素は\((m_1, m_2)\)という形のものである、その一方、\(M_1\)の任意の要素\(m_1\)はその形のものではない、したがって、\(M_1 \oplus M_2\)の要素ではない、したがって、\(M_1\)は\(M_1 \oplus M_2\)のサブモジュール（部分加群）ではない; 実のところ、\(M_1 \oplus M_2\)は、\(M_1 \times \{0\}\)および\(\{0\} \times M_2\)の本定義によるダイレクトサムである。
確かに、\(M_1 \oplus ... \oplus M_n\)は\(M\)へ'モジュール（加群）たち - リニアモーフィズム（線形射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、しかし、それでも、同一実体ではない。
不可避に、各\(m \in M\)の分解\(m = m_1 + ... + m_n\)、ここで、\(m_j \in M_j\)、はユニークである、なぜなら、\(m = m_1 + ... + m_n = m'_1 + ... + m'_n\)であると仮定すると、\(m_j - m'_j = (- m_1 + m'_1) + ... + (- m_{j - 1} + m'_{j - 1}) + \widehat{(- m_j + m'_j)} + (- m_{j + 1} + m'_{j + 1}) + ... + (- m_n + m'_n)\)、しかし、\(m_j - m'_j \in M_j\)および\((- m_1 + m'_1) + ... + (- m_{j - 1} + m'_{j - 1}) + \widehat{(- m_j + m'_j)} + (- m_{j + 1} + m'_{j + 1}) + ... + (- m_n + m'_n) \in (M_1 + ... + M_{j - 1} + \widehat{M_j} + M_{j + 1} + ... + M_n)\)であるから、\(m_j - m'_j \in \{0\}\)、したがって、\(m_j = m'_j\)。
