ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものに対して、スペース（空間）はコンプリート（完備）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を知っている。
- 読者は、任意のカウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたち（任意のベーシス（基底）に関する）のコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーはカノニカル（正典）トポロジーであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものに対して、当該スペース（空間）はコンプリート（完備）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）および当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(V \in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)に対する任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を取る; ステップ2: 任意のコーシーシーケンス（列）を取り、それを当該ベーシス（基底）によって表現し、コンポーネントシーケンス（列）たちがコンバージ（収束）することを見る; ステップ3: 当該シーケンス（列）はコンポーネントコンバージェンス（収束ポイント）たちを持ってコンバージ（収束）することを見る。
ステップ1:
\(V\)に対するあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)がある、任意のカウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つという命題によって。
ステップ2:
\(s: \mathbb{N} \to V\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
各\(l \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (l) = s (l)^j b_j\)。
以下を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)、に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt m, n\)を満たす各\(m, n \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (s (m), s (n)) \lt \epsilon\)、がある。
それが意味するのは、\(\langle s (m) - s (n), s (m) - s (n) \rangle \lt \epsilon^2\)。
したがって、\(\langle s (m)^j b_j - s (n)^j b_j, s (m)^j b_j - s (n)^j b_j \rangle = \langle (s (m)^j - s (n)^j) b_j, (s (m)^j - s (n)^j) b_j \rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert s (m)^j - s (n)^j \vert^2\)、なぜなら、当該ベーシス（基底）はオーソノーマル（正規直交）である、\(\lt \epsilon^2\)。
したがって、各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(\vert s (m)^l - s (n)^l \vert^2 \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert s (m)^j - s (n)^j \vert^2 \lt \epsilon^2\)。
それが意味するのは、\(s^l: \mathbb{N} \to F, n \mapsto s (n)^l\)はコーシーシーケンス（列）であるということ。
\(F\)のカノニカル（正典）メトリックスペース（計量付き空間）とみなしたものは、コンプリート（完備）である、よく知られているとおり、から、\(s^l\)はある\(r^l\)へコンバージ（収束）する。
ステップ3:
したがって、\(s\)は\(r^j b_j\)へコンバージ（収束）する、\(V\)をカノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）とみなして、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたち（任意のベーシス（基底）に関する）のコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって。
しかし、当該カノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）は、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）に他ならない、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーはカノニカル（正典）トポロジーであるという命題によって。
しかし、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）（ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された））トポロジカルスペース（空間）上における当該コンバージェンス（収束ポイント）は、当該メトリックスペース（計量付き空間）上におけるコンバージェンス（収束ポイント）である、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義に対する"注"内で言及されているとおり。
したがって、\(s\)は\(r^j b_j\)へコンバージ（収束）する、\(V\)を当該メトリックスペース（計量付き空間）とみなして。
したがって、\(V\)はコンプリート（完備）である。
