ヒルベルトスペース（空間）およびそのクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）に対して、スペース（空間）は、ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）およびそのオーソゴーナルコンプリメント（直交補）のダイレクトサムとして、であることの記述/証明
話題
About: ヒルベルトスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）、ファイナイト（有限）数サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサムとして、の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）はクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準の定義を認めている。
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）、任意の非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）上の任意のポイントに対して、当該サブセット（部分集合）上のユニークなポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）およびその任意のクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）に対して、当該スペース（空間）は、ベクトルたちスペース（空間）、当該サブスペース（部分空間）およびそのオーソゴーナルコンプリメント（直交補）のダイレクトサムとして、であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）たち }\}\)
\(V^\perp\): \(= V \text{ のオーソゴーナルコンプリメント（直交補） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V' = V, V^\perp \text{ のダイレクトサム }\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V^\perp\)は\(V'\)のクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）であることを見る; ステップ2: \(V \cap V^\perp = \{0\}\)であることを見る; ステップ3: \(\{0\} \subset V \subset V'\)である時、任意の\(v' \in V' \setminus V\)を取り、\(C := v' + V\)を取り、\(C\)は\(V'\)の非空コンベックス（凸）クローズドサブセット（閉部分集合）であることを見、以下を満たすユニークな\(c \in C\)、つまり、\(\Vert c \Vert = inf_{c' \in C} \Vert c' \Vert\)、を取り、\(c \in V^\perp\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V^\perp\)は\(V'\)のクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）はクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
ステップ2:
\(V \cap V^\perp = \{0\}\)であることを見よう。
\(v \in V \cap V^\perp\)を任意のものとしよう。
\(\langle v, v \rangle = 0\)。
したがって、\(v = 0\)。
ステップ3:
\(V = V'\)である時、\(V^\perp\)が何であれ、\(V' = V + V^\perp\)。
\(V = \{0\}\)である時、\(V^\perp = V'\)、したがって、\(V' = V + V^\perp\)。
\(\{0\} \subset V \subset V'\)であると仮定しよう、これ以降。
\(v' \in V\)である時、\(v' = v' + 0 \in V + V^\perp\)。
\(v' \in V' \setminus V\)を任意のものとしよう。
\(C := v' + V\)を取ろう。
\(C\)は非空である、なぜなら、\(v' + 0 = v' \in C\)。
\(C\)はコンベックス（凸）である、なぜなら、各\(c_1, c_2 \in C\)に対して、\(c_1 + t (c_2 - c_1) \in C\)、なぜなら、\(c_1 = v' + v_1\)および\(c_2 = v' + v_2\)、ここで、\(v_1, v_2 \in V\)、そして、\(c_1 + t (c_2 - c_1) = v' + v_1 + t (v' + v_2 - (v' + v_1)) = v' + v_1 + t (v_2 - v_1)\)、しかし、\(v_1 + t (v_2 - v_1) \in V\)。
\(C\)は\(V'\)のクローズドサブセット（閉部分集合）である、なぜなら、各\(p \in V' \setminus C\)に対して、\(p - v' \in V' \setminus V\)、しかし、\(V' \setminus V\)はオープン（開）であるから、\(p - v'\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{p - v', \epsilon}\)、つまり、\(B_{p - v', \epsilon} \subseteq V' \setminus V\)、があり、そして、\(v' + B_{p - v', \epsilon} \subseteq V' \setminus C\)、なぜなら、もしも、ある\(p' \in B_{p - v', \epsilon}\)に対して\(v' + p' \in C\)であったら、\(v' + p' = v' + v\)、ある\(v \in V\)に対して、そして、\(p' = v \in V\)、\(p' \in B_{p - v', \epsilon} \subseteq V' \setminus V\)に反する矛盾、しかし、\(v' + B_{p - v', \epsilon} = B_{p, \epsilon}\)、明らかに、したがって、\(V' \setminus C\)はオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準の定義によって。
任意のヒルベルトスペース（空間）、任意の非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）上の任意のポイントに対して、当該サブセット（部分集合）上のユニークなポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあるという命題によって、以下を満たすユニークな\(c \in C\)、つまり、\(\Vert c \Vert = \Vert c - 0 \Vert = inf_{c' \in C} \Vert c' - 0 \Vert = inf_{c' \in C} \Vert c' \Vert\)、がある。
\(v \neq 0\)を満たす各\(v \in V\)および各\(\lambda \in F\)に対して、\(c' = c + \lambda v \in C\)。
\(\Vert c' \Vert^2 = \Vert c + \lambda v \Vert^2 = \langle c + \lambda v, c + \lambda v \rangle = \langle c, c \rangle + \langle c, \lambda v \rangle + \langle \lambda v, c \rangle + \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \langle c, c \rangle + \langle c, \lambda v \rangle + \overline{\langle c, \lambda v \rangle} + \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \langle c, c \rangle + 2 Re (\langle c, \lambda v \rangle) + \langle \lambda v, \lambda v \rangle = \langle c, c \rangle + 2 Re (\overline{\lambda} \langle c, v \rangle) + \vert \lambda \vert^2 \langle v, v \rangle\)。
\(F = \mathbb{R}\)である時、\(\langle c, v \rangle = r\)および\(\lambda = s\)と取る、すると、\(= \langle c, c \rangle + 2 s r + s^2 \langle v, v \rangle\)。
\(F = \mathbb{C}\)である時、\(\langle c, v \rangle = r e^{i \theta}\)および\(\lambda = s e^{i \theta}\)と取る、すると、\(= \langle c, c \rangle + 2 Re (s e^{- i \theta} r e^{i \theta}) + s^2 \langle v, v \rangle = \langle c, c \rangle + 2 Re (s r) + s^2 \langle v, v \rangle = \langle c, c \rangle + 2 s r + s^2 \langle v, v \rangle\)。
いずれにせよ、\(= \langle c, c \rangle + \langle v, v \rangle (s^2 + 2 s r / \langle v, v \rangle) = \langle c, c \rangle + \langle v, v \rangle ((s + r / \langle v, v \rangle)^2 - (r / \langle v, v \rangle)^2)\)。
もしも、\(r \neq 0\)であったら、\(s + r / \langle v, v \rangle = 0\)を満たす非ゼロ\(s\)によって、\(= \langle c, c \rangle + \langle v, v \rangle 0 - (r / \langle v, v \rangle)^2 = \langle c, c \rangle - (r / \langle v, v \rangle)^2 = \Vert c' \Vert^2 \lt \langle c, c \rangle = \Vert c \Vert^2\)、\(\Vert c \Vert = inf_{c' \in C} \Vert c' \Vert\)に反する矛盾。
したがって、\(r = 0\)、したがって、\(\langle c, v \rangle = 0\)。
したがって、\(c \in V^\perp\)。
\(c \in C = v' + V\)であるから、\(c = v' + v\)、ある\(v \in V\)に対して。
したがって、\(v' = - v + c \in V + V^\perp\)。
\(v' \in V' \setminus V\)は恣意的であるから、\(V' = V + V^\perp\)。
ステップ4:
ステップ1およびステップ3によって、\(V'\)はベクトルたちスペース（空間）、\(V\)および\(V^\perp\)のダイレクトサムとして、である。
