リーアルジェブラ（多元環）のリーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のベクトルたちサブスペース（部分空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）のリーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V'\): \(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{V' \text{ の全てのアイディアル（イデアル）たち }\}\)
\(*V' / V\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間） }\)で、\([\bullet, \bullet]: V' / V \times V' / V \to V' / V\)を持つもの、\(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall [v'_1], [v'_2] \in V' / V ([[v'_1], [v'_2]] = [[v'_1, v'_2]])\)
//
2: 注
"\([[v'_1], [v'_2]] = [[v'_1, v'_2]]\)"は混乱をもよおすものに見えるかもしれないが、"\([[v'_1], [v'_2]]\)"の中で、内側のブラケットたちは\(V' / V\)内のイクイバレンス（同値）クラスたちを記し、外側のブラケットは\(V' / V\)上のブラケットオペレーションを記す、その一方で、"\([[v'_1, v'_2]]\)"の中で、内側のブラケットは\(V'\)上のブラケットオペレーションを記し、外側のブラケットは\(V' / V\)内のクラスを記す: 他に妥当な解釈はないはずだ。
\(V' / V\)上のブラケットは本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\([v'_1] = [v''_1]\)および\([v'_2] = [v''_2]\)としよう。
\(v''_1 = v'_1 + v_1\)および\(v''_2 = v'_2 + v_2\)、何らかの\(v_1, v_2 \in V\)に対して。
\([[v''_1, v''_2]] = [[v'_1 + v_1, v'_2 + v_2]] = [[v'_1, v'_2] + [v'_1, v_2] + [v_1, v'_2] + [v_1, v_2]] = [[v'_1, v'_2] + [v'_1, v_2] - [v'_2, v_1] + [v_1, v_2]]\)、しかし、\([v'_1, v_2], [v'_2, v_1], [v_1, v_2] \in V\)、なぜなら、\(V\)はアイディアル（イデアル）である、したがって、\([v'_1, v_2] - [v'_2, v_1] + [v_1, v_2] \in V\)、したがって、\( = [[v'_1, v'_2]]\)。
\(V' / V\)上のブラケットは、\(V' / V\)がリーアルジェブラ（多元環）であるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
\([v'_1], [v'_2], [v'_3] \in V' / V\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう、ここで、\(F\)は、その上方で\(V'\)がベクトルたちスペース（空間）であるフィールド（体）。
1) \([r_1 [v'_1] + r_2 [v'_2], [v'_3]] = [[r_1 v'_1 + r_2 v'_2], [v'_3]] = [[r_1 v'_1 + r_2 v'_2, v'_3]] = [r_1 [v'_1, v'_3] + r_2 [v'_2, v'_3]] = r_1 [[v'_1, v'_3]] + r_2 [[v'_2, v'_3]] = r_1 [[v'_1], [v'_3]] + r_2 [[v'_2], [v'_3]]\); \([[v'_3], r_1 [v'_1] + r_2 [v'_2]] = [[v'_3], [r_1 v'_1 + r_2 v'_2]] = [[v'_3, r_1 v'_1 + r_2 v'_2]] = [r_1 [v'_3, v'_1] + r_2 [v'_3, v'_2]] = r_1 [[v'_3, v'_1]] + r_2 [[v'_3, v'_2]] = r_1 [[v'_3], [v'_1]] + r_2 [[v'_3], [v'_2]]\)。
2) \([[v'_2], [v'_1]] = [[v'_2, v'_1]] = [- [v'_1, v'_2]] = - [[v'_1, v'_2]] = - [[v'_1], [v'_2]]\)。
3) \(\sum_{cyclic} [[v'_1], [[v'_2], [v'_3]]] = [[v'_1], [[v'_2], [v'_3]]] + [[v'_2], [[v'_3], [v'_1]]] + [[v'_3], [[v'_1], [v'_2]]] = [[v'_1], [[v'_2, v'_3]]] + [[v'_2], [[v'_3, v'_1]]] + [[v'_3], [[v'_1, v'_2]]] = [[v'_1, [v'_2, v'_3]]] + [[v'_2, [v'_3, v'_1]]] + [[v'_3, [v'_1, v'_2]]] = [[v'_1, [v'_2, v'_3]] + [v'_2, [v'_3, v'_1]] + [v'_3, [v'_1, v'_2]]] = [\sum_{cyclic} [v'_1, [v'_2, v'_3]]] = [0]\)。
したがって、\(V' / V\)はリーアルジェブラ（多元環）である。
