リーアルジェブラ（多元環）に対して、アイディアル（イデアル）は、リーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の上へのカノニカル（正典）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）であることの記述/証明
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）の定義を知っている。
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）のリーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーアルジェブラ（多元環）に対して、任意のアイディアル（イデアル）は、当該リーアルジェブラ（多元環）の当該アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の上へのカノニカル（正典）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V'\): \(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのアイディアル（イデアル）たち }\}\)
\(V' / V\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環） }\)
\(f\): \(V' \to V' / V, v' \mapsto [v']\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(V = f \text{ のカーネル（核） }\)
//
2: 注
任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であるという命題によって、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）である; 本命題によって、任意のリーアルジェブラ（多元環）の任意のアイディアル（イデアル）はあるリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）である。
したがって、全てのアイディアル（イデアル）たちは、全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのカーネル（核）たちである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ2: \(V\)は\(f\)のカーネル（核）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。
\(v'_1, v'_2 \in V'\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう。
\(f (r_1 v'_1 + r_2 v'_2) = [r_1 v'_1 + r_2 v'_2] = r_1 [v'_1] + r_2 [v'_2] = r_1 f (v'_1) + r_2 f (v'_2)\)。
\(f ([v'_1, v'_2]) = [[v'_1, v'_2]] = [[v'_1], [v'_2]] = [f (v'_1), f (v'_2)]\)。
したがって、\(f\)はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
ステップ2:
\(V\)は\(f\)のカーネル（核）であることを見よう。
\(f (v') = [0]\)が意味するのは、\([v'] = [0]\)、それが意味するのは、\(v' \in V\)。
他方で、各\(v \in V\)に対して、\(f (v) = [v] = [0]\)、したがって、\(v \in Ker (f)\)。
したがって、\(V = Ker (f)\)。
