リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であることの記述/証明
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）の定義を知っている。
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(Ker (f)\): \(= f \text{ のカーネル（核） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ker (f) \in \{V_1 \text{ の全てのアイディアル（イデアル）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ker (f)\)は\(V_1\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: \(Ker (f)\)はアイディアル（イデアル）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(Ker (f)\)は\(V_1\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
ステップ2:
\(v \in V_1\)および\(k \in Ker (f)\)を任意のものとしよう。
\(f ([v, k]) = [f (v), f (k)]\)、なぜなら、\(f\)はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）である、\(= [f (v), 0] = 0\)、それが意味するのは、\([v, k] \in Ker (f)\)。
したがって、\(Ker (f)\)は\(V_1\)のアイディアル（イデアル）である。
