\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(t\): \(: M \to \Lambda_q (T M)\), \(\in \Omega_q (T M)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d d t = 0\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in M\)周りにあるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を取り、\(t\)を\(\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)と表わす; ステップ2: \(d d t\)を計算し、それは\(0\)であることを見る。
ステップ1:
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
あるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を取ろう。
当該チャートに関して、\(t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題によって。
ステップ2:
\(d t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t_{j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} \partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^l d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)。
\(d d t = d (\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} \partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^l d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d (\partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^l d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q})\)、なぜなら、\(d\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）である。
各固定された\((j_1, ..., j_q)\)に対して、\(l \in \{j_1, ..., j_q\}\)に対する全項目たちは\(0\)である、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義に対する"注"内に言及されているあるプロパティによって。
各固定された\((j_1, ..., j_q)\)に対して、各\(l \notin \{j_1, ..., j_q\}\)に対する項は\(d (\partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^l d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = \partial (\partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^l) / \partial x^m d x^m \wedge d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q})\)、なぜなら、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義は\(d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)を昇順に要求するが、それを昇順に並び替えることはある符号をもたらすが、当該結果を元の順序に戻すことはその符号（それが何であろうが）を消す。
各固定された\((j_1, ..., j_q)\)に対して、\(l = m\)に対する全項目たちは\(0\)、前と同様、そして、以下を満たす各\((l, m)\)ペア、つまり、\(l \neq m\)、に対して、対応する\((m, l)\)ペアがあり、\(\partial (\partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^l) / \partial x^m d x^m \wedge d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) + \partial (\partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^m) / \partial x^l d x^l \wedge d x^m \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = 0\)、なぜなら、\(\partial (\partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^l) / \partial x^m = \partial (\partial t_{j_1, ..., j_q} / \partial x^m) / \partial x^l\)であるところ、\(d x^m \wedge d x^l \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = - d x^l \wedge d x^m \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義に対する"注"に言及されているあるプロパティによって。
したがって、\(d d t = 0\)。
