\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( t\): \(: M \to \Lambda_q (T M)\), \(\in \Omega_q (T M)\)
\(*d t\): \(: M \to \Lambda_{q + 1} (T M)\), \(\in \Omega_{q + 1} (T M)\)
//
コンディションたち:
\(\forall (U \subseteq M, \phi) \in \{M \text{ に対する全てのチャートたち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} (d t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t_{j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q})\)
//
2: 注
それはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
当該フォーミュラはチャートの選択に依存しないことを見よう。
\((U' \subseteq M, \phi')\)を、\(U \cap U' \neq \emptyset\)を満たす任意の他のチャートとしよう。
\(U'\)上で、\(t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t'^{j_1, ..., j_q} d x'^{j_1} \wedge ... \wedge d x'^{j_q}\)。
\(U \cap U'\)上で、\(t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t'^{j_1, ..., j_q} d x'^{j_1} \wedge ... \wedge d x'^{j_q}\)、しかし、\(\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t_{j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t'_{j_1, ..., j_q} \wedge d x'^{j_1} \wedge ... \wedge d x'^{j_q}\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q\)-フォームでファンクション（関数）に\(q\)個のファンクション（関数）たちのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちのウェッジプロダクト（楔積）を掛けたものとして任意の2つの形で表わされるものに対して、頭の当該ファンクション（関数）たちをそのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちで置換した（そして、マルチプリケーション（乗法）たちをウェッジプロダクト（楔積）たちで置換した）表現たちは同一オブジェクトを代表するという命題によって。
したがって、\(d t\)はチャートの選択に依存しない。
\(d\)は、\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）である、それが意味するのは、\(d (r_1 t_1 + r_2 t_2) = r_1 d t_1 + r_2 d t_2\)、各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、なぜなら、\(t_l = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{l, j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)、\(d (r_1 t_1 + r_2 t_2) = d (r_1 \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{1, j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} + r_2 \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{2, j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = d (\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} (r_1 t_{1, j_1, ..., j_q} + r_2 t_{2, j_1, ..., j_q}) d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d (r_1 t_{1, j_1, ..., j_q} + r_2 t_{2, j_1, ..., j_q}) \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} (r_1 d t_{1, j_1, ..., j_q} + r_2 d t_{2, j_1, ..., j_q}) \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = r_1 \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t_{1, j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} + r_2 \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t_{2, j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = r_1 d t_1 + r_2 d t_2\)。
実のところ、本定義は\(t\)が\(j_1 \lt ... \lt j_q\)である昇順項たちで表現されるように求めるが、\(t = \sum_{(l_1, ... l_q)} t_{l_1, ..., l_q} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q}\)が他の順序項たちを持つ時も、\(d t = \sum_{(l_1, ... l_q)} d t_{l_1, ..., l_q} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q}\)、なぜなら、\(d\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）であるから、\(d t = d (\sum_{(l_1, ... l_q)} t_{l_1, ..., l_q} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q}) = \sum_{(l_1, ... l_q)} d (t_{l_1, ..., l_q} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q})\)であるところ、\(t_{l_1, ..., l_q} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q} = sgn \sigma t_{l_1, ..., l_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)、ここで、\(j_1 \lt ... \lt j_q\)で\(\sigma\)は\((l_1, ..., l_q)\)を\((j_1, ..., j_q)\)へ並び替えるパーミュテーション（並べ替え）、であるから、\(d (t_{l_1, ..., l_q} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q}) = d (sgn \sigma t_{l_1, ..., l_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = d (sgn \sigma t_{l_1, ..., l_q}) \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = sgn \sigma d t_{l_1, ..., l_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} = d t_{l_1, ..., l_q} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_q}\)。
実のところ、\(t = \sum_{j \in J} f_{j, 0} d f_{j, 1} \wedge ... \wedge d f_{j, q}\)、任意のインデックスセット（集合）\(J\)および任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）たち\(\{f_{j, l} \vert j \in J, l \in \{0, ... q\}\}\)に対して、である時、\(d t = \sum_{j \in J} d f_{j, 0} \wedge d f_{j, 1} \wedge ... \wedge d f_{j, q}\)、なぜなら、\(d\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）であるから、\(d t = \sum_{j \in J} d (f_{j, 0} d f_{j, 1} \wedge ... \wedge d f_{j, q})\)、しかし、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q_1\)-フォームと任意の\(C^\infty\) \(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）のエクステリアデリバティブ（微分係数）は、当該\(q_1\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）と当該\(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）プラス当該\(q_1\)-フォームと当該\(q_2\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）のウェッジプロダクト（楔積）に\(-1\)を\(q_1\)乗したものを掛けたものであるによって、\(= \sum_{j \in J} d f_{j, 0} \wedge d f_{j, 1} \wedge ... \wedge d f_{j, q} + (-1)^0 f_{j, 0} d (d f_{j, 1} \wedge ... \wedge d f_{j, q})\)、しかし、\(d (d f_{j, 1} \wedge ... \wedge d f_{j, q}) = 0\)、逐次にその命題および任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)であるという命題を適用することによって。
