\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）でデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\Lambda_q (V: F)\): \(= \text{ 当該 } q \text{ -コベクトルたちスペース（空間） }\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b_l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(B^*\): \(= B \text{ に対するデュアルベーシス（基底） } = \{b^l \vert 1 \le l \le dim V\}\)
\(\widetilde{B^*}\): \(= \{b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} \vert \forall l \in \{1, ..., q\} (1 \le j_l \le dim V) \land j_1 \lt ... \lt j_q\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\widetilde{B^*} \in \{\Lambda_q (V: F) \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
\(\widetilde{B^*}\)を、"\(B\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）"と呼ぼう: それは、\(B\)が指定されなければ決定されない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\widetilde{B^*}\)は\(\Lambda_q (V: F)\)をスパン（張る）することを見よう; ステップ2: \(\widetilde{B^*}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見よう。
ステップ1:
\(\widetilde{B^*}\)は\(\Lambda_q (V: F)\)をスパン（張る）することを見よう。
\(t \in \Lambda_q (V: F)\)を任意のものとしよう。
\(\Lambda_q (V: F) \subseteq L (V, ..., V: F)\)であるから、\(t \in L (V, ..., V: F)\)。
任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって、\(L (V, ..., V: F)\)は\(B\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）\(\{b^{j_1} \otimes ... \otimes b^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V)\}\)を持つ。
したがって、\(t = t_{j_1, ..., j_k} b^{j_1} \otimes ... \otimes b^{j_k}\)。
\(t\)はアンチシンメトリック（反対称）であるから、\(t = Asym (t) = Asym (t_{j_1, ..., j_k} b^{j_1} \otimes ... \otimes b^{j_k}) = t_{j_1, ..., j_k} Asym (b^{j_1} \otimes ... \otimes b^{j_k}) = t_{j_1, ..., j_k} 1 / k! b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_k}\)、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のあるプロパティによって。
\(\{j_1, ..., j_k\}\)が互いに違わない各項目に対して、当該項目は\(0\)である、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のあるプロパティによって。
\((j_1, ..., j_k)\)が昇順でない各項目に対して、以下を満たすあるパーミュテーション（並べ替え）\(\sigma \in S^k\)、つまり、\((j_{\sigma_1}, ..., j_{\sigma_k})\)は昇順である、があり、\(b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_k} = c b^{\sigma_1} \wedge ... \wedge b^{\sigma_k}\)、ここで、\(c\)は\(1\)または\(-1\)、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のあるプロパティによって。
したがって、\(t\)は\(\widetilde{B^*}\)のリニアコンビネーション（線形結合）である。
ステップ2:
\(\widetilde{B^*}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見よう。
\(c_{j_1, ..., j_k} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_k} = 0\)、ここで、\(j_1 \lt ... \lt j_k\)、としよう。
各固定した\((j'_1, ..., j'_k)\)に対して、\(c_{j_1, ..., j_k} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_k}\)を\((b_{j'_1}, ..., b_{j'_k})\)に作用させよう。
\(c_{j_1, ..., j_k} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_k} ((b_{j'_1}, ..., b_{j'_k})) = 0 ((b_{j'_1}, ..., b_{j'_k})) = 0\)。
しかし、左辺の唯一の非ゼロであるかもしれない項は、\(c_{j'_1, ..., j'_k} b^{j'_1} \wedge ... \wedge b^{j'_k} ((b_{j'_1}, ..., b_{j'_k}))\)、なぜなら、任意の他の項は、\(j_l \notin \{j'_1, ..., j'_k\}\)である\(b^{j_l}\)を持ち、\(b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_k} ((b_{j'_1}, ..., b_{j'_k})) = 0\)、なぜなら、\(b^{j_l} (b'_{j_m}) = 0\)、各\(m\)に対して。
\(b^{j'_1} \wedge ... \wedge b^{j'_k} ((b_{j'_1}, ..., b_{j'_k})) = det (b'^{j_l} (b'_{j_m})) = det I = 1\)、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のあるプロパティによって。
したがって、\(c_{j'_1, ..., j'_k} = 0\)。
したがって、\(\widetilde{B^*}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
