\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）のプルバックはフォームのプルバックのエクステリアデリバティブ（微分係数）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポイントにおける\(q\)-コベクトルたちの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、任意のマルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のプルバックは当該マルチコベクトルたちのプルバックたちのウェッジプロダクト（楔積）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q_1\)-フォームと任意の\(C^\infty\) \(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）のエクステリアデリバティブ（微分係数）は、当該\(q_1\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）と当該\(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）プラス当該\(q_1\)-フォームと当該\(q_2\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）のウェッジプロダクト（楔積）に\(-1\)を\(q_1\)乗したものを掛けたものであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、任意のフォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）のプルバックは当該フォームのプルバックのエクステリアデリバティブ（微分係数）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(t\): \(\in \Omega_q (M_2)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^* d t = d f^* t\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: それを\(q = 0\)である時に見る; ステップ2: \(0 \lt q\)である時、各\(m_1 \in M_1\)に対して、\(f (m_1)\)周りの任意のチャート\((U_{f (m_1)} \subseteq M_2, \phi_{f (m_1)})\)を取り、\(t\)を\(\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)として表わし、\(f^* d t\)および\(d f^* t\)を計算する。
ステップ1:
\(q = 0\)としよう。
\(m_1 \in M_1\)を任意のものとしよう。
\(v \in T_{m_1}M_1\)を任意のものとしよう。
\(f^* d t (v) = d t (d f_{m_1} (v)) = (d f_{m_1} (v)) (t) = v (t \circ f)\)。
\((d f^* t) (v) = v (f^* t) = v (t \circ f)\)。
したがって、\(f^* d t = d f^* t\)。
ステップ2:
\(0 \lt q\)を任意のものとしよう。
\(m_1 \in M_1\)を任意のものとしよう。
\(f (m_1)\)周りの任意のチャート\((U_{f (m_1)} \subseteq M_2, \phi_{f (m_1)})\)を取ろう。
\(t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)、そこにおいて。
\(d t = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t_{j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)であるという命題によって。
したがって、\(f^* d t = f^* (\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d t_{j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f^* (d t_{j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f^* (d t_{j_1, ..., j_q}) \wedge f^* (d x^{j_1}) \wedge ... \wedge f^* (d x^{j_q})\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、任意のマルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のプルバックは当該マルチコベクトルたちのプルバックたちのウェッジプロダクト（楔積）であるという命題によって、\(= \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d f^* (t_{j_1, ..., j_q}) \wedge d f^* (x^{j_1}) \wedge ... \wedge d f^* (x^{j_q})\)、ステップ1によって。
他方では、\(d f^* t = d f^* (\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} t_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}) = d (\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f^* (t_{j_1, ..., j_q} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q})) = d (\sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f^* (t_{j_1, ..., j_q}) \wedge f^* (d x^{j_1}) \wedge ... \wedge f^* (d x^{j_q}))\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、任意のマルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のプルバックは当該マルチコベクトルたちのプルバックたちのウェッジプロダクト（楔積）であるという命題によって、\(= \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d (f^* (t_{j_1, ..., j_q}) d f^* (x^{j_1}) \wedge ... \wedge d f^* (x^{j_q}))\)、ステップ1によって。
\(= \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} d f^* (t_{j_1, ..., j_q}) \wedge d f^* (x^{j_1}) \wedge ... \wedge d f^* (x^{j_q})\)、それは、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q_1\)-フォームと任意の\(C^\infty\) \(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）のエクステリアデリバティブ（微分係数）は、当該\(q_1\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）と当該\(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）プラス当該\(q_1\)-フォームと当該\(q_2\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）のウェッジプロダクト（楔積）に\(-1\)を\(q_1\)乗したものを掛けたものであるという命題および任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)であるという命題によって: \(d (f^* (t_{j_1, ..., j_q}) d f^* (x^{j_1}) \wedge ... \wedge d f^* (x^{j_q})) = d f^* (t_{j_1, ..., j_q}) \wedge (d f^* (x^{j_1}) \wedge ... \wedge d f^* (x^{j_q})) + (-1)^0 f^* (t_{j_1, ..., j_q}) \wedge d (d f^* (x^{j_1}) \wedge ... \wedge d f^* (x^{j_q}))\)、しかし、その第2項は\(0\)である、なぜなら、それをさらに展開すると、各項はある\(d d\)因子を持つ。
したがって、それら両辺たちは等しい、したがって、\(f^* d t = d f^* t\)。
