メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間メジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、変更してメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）をメジャラブル（測定可能）な\(1\)ポイントへマップするようにしたマップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、変更して任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）を任意のメジャラブル（測定可能）な\(1\)ポイントへマップするようにしたマップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M_1, A_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(a_1\): \(\in A_1\)
\(m_2\): \(\in M_2\)で、\(\{m_2\} \in A_2\)を満たすもの
\(f'\): \(: M_1 \to M_2, m \mapsto m_2 \text{ 、 } m \in a_1 \text{ である時 }; \mapsto f (m) \text{ 、そうでなければ }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、典型的には、\(f\)がある目的のために何らか妥当でなく、\(f\)を変更して当該目的のために妥当であるように変更するように使われる。
例えば、\(M_2 = [- \infty, \infty]\)および\(f'\)が\(\{- \infty, \infty\}\)の中へある\(a_1\)（典型的には、メジャー（測度）\(0\)）上方でのみである時、私たちは、\(f'\)が\(\mathbb{R}\)の中へのものであるよう欲するかもしれない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(a_2 \in A_2\)を取り、\(f'^{-1} (a_2) = (f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) \setminus a_1) \cup (\emptyset \text{ or } a_1 \cup f^{-1} (\{m_2\}))\)であることを見る。
ステップ1:
\(a_2 \in A_2\)を任意のものとしよう。
\(a_2 = (a_2 \setminus \{m_2\}) \cup (a_2 \cap \{m_2\})\)、なぜなら、各\(p \in a_2\)に対して、\(p \in \{m_2\}\)である時、\(p \in a_2 \cap \{m_2\}\); \(p \notin \{m_2\}\)である時、\(p \in a_2 \setminus \{m_2\}\)。
\(f'^{-1} (a_2) = f'^{-1} ((a_2 \setminus \{m_2\}) \cup (a_2 \cap \{m_2\})) = f'^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) \cup f'^{-1} (a_2 \cap \{m_2\})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f'^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) = f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) \setminus a_1\)、なぜなら、各\(p \in f'^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\})\)に対して、\(f' (p) \in a_2 \setminus \{m_2\}\)、しかし、\(p \notin a_1\)、したがって、\(f' (p) = f (p) \in a_2 \setminus \{m_2\}\)、したがって、\(p \in f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\})\)、したがって、\(p \in f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) \setminus a_1\); 各\(p \in f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) \setminus a_1\)に対して、\(f' (p) = f (p) \in a_2 \setminus \{m_2\}\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\})\)。
\(f'^{-1} (a_2 \cap \{m_2\}) = \emptyset \text{ or } a_1 \cup f^{-1} (\{m_2\})\)、なぜなら、\(a_2 \cap \{m_2\} = \emptyset\)である時、\(f'^{-1} (a_2 \cap \{m_2\}) = \emptyset\); そうでなければ、\(a_2 \cap \{m_2\} = \{m_2\}\)、そして、\(f'^{-1} (\{m_2\}) = a_1 \cup f^{-1} (\{m_2\})\)、なぜなら、各\(p \in f'^{-1} (\{m_2\})\)に対して、\(p \in a_1\)または\(p \notin a_1\)、しかし、\(p \notin a_1\)である時、\(f' (p) = f (p) = m_2\)、したがって、\(p \in f^{-1} (\{m_2\})\); 各\(p \in a_1 \cup f^{-1} (\{m_2\})\)に対して、\(p \in a_1\)である時、\(f' (p) = m_2\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (\{m_2\})\); そうでなければ、\(f' (p) = f (p) = m_2\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (\{m_2\})\)。
したがって、\(f'^{-1} (a_2) = (f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) \setminus a_1) \cup (\emptyset \text{ or } a_1 \cup f^{-1} (\{m_2\}))\)。
\(\{m_2\}\)はメジャラブル（測定可能）であるから、\(a_2 \setminus \{m_2\}\)はメジャラブル（測定可能）である、そして、\(f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\})\)はメジャラブル（測定可能）である、なぜなら、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である、そして、\(f^{-1} (a_2 \setminus \{m_2\}) \setminus a_1\)はメジャラブル（測定可能）である; \(\emptyset\)はメジャラブル（測定可能）である、\(f^{-1} (\{m_2\}\)はメジャラブル（測定可能）である、そして、\(a_1 \cup f^{-1} (\{m_2\})\)はメジャラブル（測定可能）である。
したがって、\(f'^{-1} (a_2)\)はメジャラブル（測定可能）である。
したがって、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）である。
